MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unblem4 Unicode version

Theorem unblem4 7112
Description: Lemma for unbnn 7113. The function  F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers  A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
unblem.2  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unblem4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Distinct variable groups:    w, v, x, A    v, F, w
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem unblem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsson 4660 . . . 4  |-  om  C_  On
2 sstr 3187 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  A  C_  On )
31, 2mpan2 652 . . 3  |-  ( A 
C_  om  ->  A  C_  On )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A  C_  On )
5 frfnom 6447 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om
6 unblem.2 . . . . 5  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
76fneq1i 5338 . . . 4  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om )
85, 7mpbir 200 . . 3  |-  F  Fn  om
96unblem2 7110 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  A ) )
109ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
)
11 ffnfv 5685 . . . 4  |-  ( F : om --> A  <->  ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
) )
1211biimpri 197 . . 3  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A )  ->  F : om --> A )
138, 10, 12sylancr 644 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om --> A )
146unblem3 7111 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z ) ) )
1514ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )
16 omsmo 6652 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. z  e. 
om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )  ->  F : om -1-1-> A )
174, 13, 15, 16syl21anc 1181 1  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   |^|cint 3862    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  unbnn  7113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator