Theorem unbndrank 4693

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	|- (-. A e. V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 4681	. . . . . . . 8 |- (rank` y) e. On
2		ontri1 2987	. . . . . . . 8 |- (((rank` y) e. On /\ x e. On) -> ((rank` y) (_ x <-> -. x e. (rank` y)))
3	1, 2	mpan 697	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((rank` y) (_ x <-> -. x e. (rank` y)))
4	3	ralbidv 1666	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) (_ x <-> A.y e. A -. x e. (rank` y)))
5		ralnex 1656	. . . . . 6 |- (A.y e. A -. x e. (rank` y) <-> -. E.y e. A x e. (rank` y))
6	4, 5	syl6bb 538	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) (_ x <-> -. E.y e. A x e. (rank` y)))
7	6	rexbiia 1677	. . . 4 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x <-> E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y))
8		rexnal 1657	. . . 4 |- (E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y) <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
9	7, 8	bitr 173	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
10		bndrank 4692	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x -> A e. V)
11	9, 10	sylbir 201	. 2 |- (-. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y) -> A e. V)
12	11	con1i 96	1 |- (-. A e. V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  Oncon0 2954  ` cfv 3188  rankcrnk 4652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain