MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn2 Unicode version

Theorem unbnn2 7301
Description: Version of unbnn 7300 that does not require a strict upper bound. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
unbnn2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y
)  ->  A  ~~  om )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbnn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 4806 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  om )
2 sseq1 3313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( x  C_  y  <->  suc  z  C_  y )
)
32rexbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  suc  z  C_  y ) )
43rspcv 2992 . . . . 5  |-  ( suc  z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x 
C_  y  ->  E. y  e.  A  suc  z  C_  y ) )
5 vex 2903 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
6 sucssel 4615 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( suc  z  C_  y  -> 
z  e.  y ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( suc  z  C_  y  ->  z  e.  y )
87reximi 2757 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  suc  z  C_  y  ->  E. y  e.  A  z  e.  y )
94, 8syl6com 33 . . . 4  |-  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y  ->  ( suc  z  e. 
om  ->  E. y  e.  A  z  e.  y )
)
101, 9syl5 30 . . 3  |-  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y  ->  ( z  e.  om  ->  E. y  e.  A  z  e.  y )
)
1110ralrimiv 2732 . 2  |-  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y  ->  A. z  e.  om  E. y  e.  A  z  e.  y )
12 unbnn 7300 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. z  e.  om  E. y  e.  A  z  e.  y )  ->  A  ~~  om )
1311, 12syl3an3 1219 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y
)  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   suc csuc 4525   omcom 4786    ~~ cen 7043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-en 7047  df-dom 7048
  Copyright terms: Public domain W3C validator