MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn2 Structured version   Unicode version

Theorem unbnn2 7356
Description: Version of unbnn 7355 that does not require a strict upper bound. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
unbnn2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y
)  ->  A  ~~  om )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbnn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 4857 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  om )
2 sseq1 3361 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( x  C_  y  <->  suc  z  C_  y )
)
32rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  suc  z  C_  y ) )
43rspcv 3040 . . . . 5  |-  ( suc  z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x 
C_  y  ->  E. y  e.  A  suc  z  C_  y ) )
5 vex 2951 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
6 sucssel 4666 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( suc  z  C_  y  -> 
z  e.  y ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( suc  z  C_  y  ->  z  e.  y )
87reximi 2805 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  suc  z  C_  y  ->  E. y  e.  A  z  e.  y )
94, 8syl6com 33 . . . 4  |-  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y  ->  ( suc  z  e. 
om  ->  E. y  e.  A  z  e.  y )
)
101, 9syl5 30 . . 3  |-  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y  ->  ( z  e.  om  ->  E. y  e.  A  z  e.  y )
)
1110ralrimiv 2780 . 2  |-  ( A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y  ->  A. z  e.  om  E. y  e.  A  z  e.  y )
12 unbnn 7355 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. z  e.  om  E. y  e.  A  z  e.  y )  ->  A  ~~  om )
1311, 12syl3an3 1219 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  C_  y
)  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   suc csuc 4575   omcom 4837    ~~ cen 7098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-en 7102  df-dom 7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator