MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncdadom Unicode version

Theorem uncdadom 7797
Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uncdadom  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )

Proof of Theorem uncdadom
StepHypRef Expression
1 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2 xpsneng 6947 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( A  X.  { (/) } ) 
~~  A )
31, 2mpan2 652 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { (/) } ) 
~~  A )
4 ensym 6910 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { (/) } )  ~~  A  ->  A  ~~  ( A  X.  { (/) } ) )
5 endom 6888 . . . 4  |-  ( A 
~~  ( A  X.  { (/) } )  ->  A  ~<_  ( A  X.  { (/) } ) )
63, 4, 53syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~<_  ( A  X.  { (/) } ) )
7 1on 6486 . . . . 5  |-  1o  e.  On
8 xpsneng 6947 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  1o  e.  On )  -> 
( B  X.  { 1o } )  ~~  B
)
97, 8mpan2 652 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( B  X.  { 1o }
)  ~~  B )
10 ensym 6910 . . . 4  |-  ( ( B  X.  { 1o } )  ~~  B  ->  B  ~~  ( B  X.  { 1o }
) )
11 endom 6888 . . . 4  |-  ( B 
~~  ( B  X.  { 1o } )  ->  B  ~<_  ( B  X.  { 1o } ) )
129, 10, 113syl 18 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  B  ~<_  ( B  X.  { 1o } ) )
13 xp01disj 6495 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { (/) } )  i^i  ( B  X.  { 1o }
) )  =  (/)
14 undom 6950 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  ( A  X.  { (/) } )  /\  B  ~<_  ( B  X.  { 1o }
) )  /\  (
( A  X.  { (/)
} )  i^i  ( B  X.  { 1o }
) )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
1513, 14mpan2 652 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  ( A  X.  { (/) } )  /\  B  ~<_  ( B  X.  { 1o } ) )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
166, 12, 15syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o } ) ) )
17 cdaval 7796 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +c  B
)  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
1816, 17breqtrrd 4049 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   Oncon0 4392    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    +c ccda 7793
This theorem is referenced by:  cdadom3  7814  unnum  7826  ficardun2  7829  pwsdompw  7830  unctb  7831  infunabs  7833  infcda  7834  infdif  7835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator