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Theorem uncld 17060
Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
uncld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem uncld
StepHypRef Expression
1 difundi 3553 . . 3  |-  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  =  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )
2 cldrcl 17045 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 17050 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
74cldopn 17050 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
87adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
9 inopn 16927 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  A
)  e.  J  /\  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
103, 6, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
111, 10syl5eqel 2488 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  ( A  u.  B )
)  e.  J )
124cldss 17048 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
134cldss 17048 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
1412, 13anim12i 550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J ) )
15 unss 3481 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J )  <-> 
( A  u.  B
)  C_  U. J )
1614, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
U. J )
174iscld2 17047 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  U. J )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B
) )  e.  J
) )
183, 16, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  e.  J ) )
1911, 18mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   U.cuni 3975   ` cfv 5413   Topctop 16913   Clsdccld 17035
This theorem is referenced by:  iscldtop  17114  paste  17312  lpcls  17382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421  df-top 16918  df-cld 17038
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