MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Unicode version

Theorem unctb 7831
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 reldom 6869 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4729 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
31brrelexi 4729 . . 3  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
4 uncdadom 7797 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
52, 3, 4syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( A  +c  B ) )
6 cdadom1 7812 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  B ) )
7 cdadom2 7813 . . . 4  |-  ( B  ~<_  om  ->  ( om  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
8 domtr 6914 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  B )  /\  ( om  +c  B )  ~<_  ( om  +c  om )
)  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
96, 7, 8syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
10 omex 7344 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
1110, 10xpex 4801 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  e.  _V
12 xp2cda 7806 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  X.  2o )  =  ( om  +c  om ) )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  =  ( om  +c  om )
14 ordom 4665 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
15 2onn 6638 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
16 ordelss 4408 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  2o  e.  om )  ->  2o  C_ 
om )
1714, 15, 16mp2an 653 . . . . . . 7  |-  2o  C_  om
18 xpss2 4796 . . . . . . 7  |-  ( 2o  C_  om  ->  ( om  X.  2o )  C_  ( om  X.  om ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  C_  ( om  X.  om )
2013, 19eqsstr3i 3209 . . . . 5  |-  ( om 
+c  om )  C_  ( om  X.  om )
21 ssdomg 6907 . . . . 5  |-  ( ( om  X.  om )  e.  _V  ->  ( ( om  +c  om )  C_  ( om  X.  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om ) ) )
2211, 20, 21mp2 17 . . . 4  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  ( om 
X.  om )
23 xpomen 7643 . . . 4  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
24 domentr 6920 . . . 4  |-  ( ( ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  om )
2522, 23, 24mp2an 653 . . 3  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  om
26 domtr 6914 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  om )  /\  ( om 
+c  om )  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B
)  ~<_  om )
279, 25, 26sylancl 643 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  om )
28 domtr 6914 . 2  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B )  /\  ( A  +c  B )  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
295, 27, 28syl2anc 642 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   Ord word 4391   omcom 4656    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   2oc2o 6473    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    +c ccda 7793
This theorem is referenced by:  cctop  16743  2ndcdisj2  17183  ovolctb2  18851  uniiccdif  18933  prct  23340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator