MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Unicode version

Theorem unctb 7847
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 reldom 6885 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4745 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
31brrelexi 4745 . . 3  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
4 uncdadom 7813 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
52, 3, 4syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( A  +c  B ) )
6 cdadom1 7828 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  B ) )
7 cdadom2 7829 . . . 4  |-  ( B  ~<_  om  ->  ( om  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
8 domtr 6930 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  B )  /\  ( om  +c  B )  ~<_  ( om  +c  om )
)  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
96, 7, 8syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
10 omex 7360 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
1110, 10xpex 4817 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  e.  _V
12 xp2cda 7822 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  X.  2o )  =  ( om  +c  om ) )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  =  ( om  +c  om )
14 ordom 4681 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
15 2onn 6654 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
16 ordelss 4424 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  2o  e.  om )  ->  2o  C_ 
om )
1714, 15, 16mp2an 653 . . . . . . 7  |-  2o  C_  om
18 xpss2 4812 . . . . . . 7  |-  ( 2o  C_  om  ->  ( om  X.  2o )  C_  ( om  X.  om ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  C_  ( om  X.  om )
2013, 19eqsstr3i 3222 . . . . 5  |-  ( om 
+c  om )  C_  ( om  X.  om )
21 ssdomg 6923 . . . . 5  |-  ( ( om  X.  om )  e.  _V  ->  ( ( om  +c  om )  C_  ( om  X.  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om ) ) )
2211, 20, 21mp2 17 . . . 4  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  ( om 
X.  om )
23 xpomen 7659 . . . 4  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
24 domentr 6936 . . . 4  |-  ( ( ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  om )
2522, 23, 24mp2an 653 . . 3  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  om
26 domtr 6930 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  om )  /\  ( om 
+c  om )  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B
)  ~<_  om )
279, 25, 26sylancl 643 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  om )
28 domtr 6930 . 2  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B )  /\  ( A  +c  B )  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
295, 27, 28syl2anc 642 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   Ord word 4407   omcom 4672    X. cxp 4703  (class class class)co 5874   2oc2o 6489    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    +c ccda 7809
This theorem is referenced by:  cctop  16759  2ndcdisj2  17199  ovolctb2  18867  uniiccdif  18949  prct  23355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator