MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Structured version   Unicode version

Theorem unctb 8087
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 reldom 7117 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4920 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
31brrelexi 4920 . . 3  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
4 uncdadom 8053 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
52, 3, 4syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( A  +c  B ) )
6 cdadom1 8068 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  B ) )
7 cdadom2 8069 . . . 4  |-  ( B  ~<_  om  ->  ( om  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
8 domtr 7162 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  B )  /\  ( om  +c  B )  ~<_  ( om  +c  om )
)  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
96, 7, 8syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
10 omex 7600 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
1110, 10xpex 4992 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  e.  _V
12 xp2cda 8062 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  X.  2o )  =  ( om  +c  om ) )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  =  ( om  +c  om )
14 ordom 4856 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
15 2onn 6885 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
16 ordelss 4599 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  2o  e.  om )  ->  2o  C_ 
om )
1714, 15, 16mp2an 655 . . . . . . 7  |-  2o  C_  om
18 xpss2 4987 . . . . . . 7  |-  ( 2o  C_  om  ->  ( om  X.  2o )  C_  ( om  X.  om ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  C_  ( om  X.  om )
2013, 19eqsstr3i 3381 . . . . 5  |-  ( om 
+c  om )  C_  ( om  X.  om )
21 ssdomg 7155 . . . . 5  |-  ( ( om  X.  om )  e.  _V  ->  ( ( om  +c  om )  C_  ( om  X.  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om ) ) )
2211, 20, 21mp2 9 . . . 4  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  ( om 
X.  om )
23 xpomen 7899 . . . 4  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
24 domentr 7168 . . . 4  |-  ( ( ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  om )
2522, 23, 24mp2an 655 . . 3  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  om
26 domtr 7162 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  om )  /\  ( om 
+c  om )  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B
)  ~<_  om )
279, 25, 26sylancl 645 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  om )
28 domtr 7162 . 2  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B )  /\  ( A  +c  B )  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
295, 27, 28syl2anc 644 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   Ord word 4582   omcom 4847    X. cxp 4878  (class class class)co 6083   2oc2o 6720    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109    +c ccda 8049
This theorem is referenced by:  cctop  17072  2ndcdisj2  17522  ovolctb2  19390  uniiccdif  19472  prct  24106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050
  Copyright terms: Public domain W3C validator