MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undif Unicode version

Theorem undif 3547
Description: Union of complementary parts into whole. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
undif  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )

Proof of Theorem undif
StepHypRef Expression
1 ssequn1 3358 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
2 undif2 3543 . . 3  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
32eqeq1i 2303 . 2  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  A ) )  =  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
41, 3bitr4i 243 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165
This theorem is referenced by:  difsnid  3777  fveqf1o  5822  undifixp  6868  dfdom2  6903  sbthlem5  6991  sbthlem6  6992  domunsn  7027  fodomr  7028  mapdom2  7048  limensuci  7053  findcard2  7114  unfi  7140  marypha1lem  7202  brwdom2  7303  infdifsn  7373  cantnfrescl  7394  ackbij1lem12  7873  ackbij1lem18  7879  ssfin4  7952  fin23lem28  7982  fin23lem30  7984  fin1a2lem13  8054  canthp1lem1  8290  xrsupss  10643  xrinfmss  10644  hashssdif  11390  hashfun  11405  hashf1lem2  11410  fsumless  12270  incexclem  12311  incexc  12312  isclo  16840  cmpcld  17145  uniiccmbl  18961  itgss3  19185  dchreq  20513  sigaclfu2  23497  measxun2  23553  measvuni  23557  measssd  23558  indval2  23613  axlowdimlem7  24648  axlowdimlem10  24651  splint  25151  ralxpmap  26864  diophrw  26941  eldioph2lem1  26942  eldioph2lem2  26943  kelac1  27264  pwssplit1  27291  frlmsslss2  27348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469
  Copyright terms: Public domain W3C validator