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Theorem undif3VD 28658
Description: The first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. Virtual deduction proof of undif3 3429. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. undif3 3429 is undif3VD 28658 without virtual deductions and was automatically derived from undif3VD 28658.
1::  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) ) )
2::  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
3:2:  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
4:1,3:  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
5::  |-  (. x  e.  A  ->.  x  e.  A ).
6:5:  |-  (. x  e.  A  ->.  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) ).
7:5:  |-  (. x  e.  A  ->.  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ).
8:6,7:  |-  (. x  e.  A  ->.  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) ).
9:8:  |-  ( x  e.  A  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  (  -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
10::  |-  (. ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->.  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ).
11:10:  |-  (. ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->.  x  e.  B ).
12:10:  |-  (. ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->.  -.  x  e.  C  ).
13:11:  |-  (. ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->.  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) ).
14:12:  |-  (. ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->.  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ).
15:13,14:  |-  (. ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->.  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) ).
16:15:  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
17:9,16:  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
18::  |-  (. ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  ->.  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C ) ).
19:18:  |-  (. ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  ->.  x  e.  A ).
20:18:  |-  (. ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  ->.  -.  x  e.  C  ).
21:18:  |-  (. ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  ->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) ).
22:21:  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
23::  |-  (. ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  A  /\  x  e.  A ) ).
24:23:  |-  (. ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->.  x  e.  A ).
25:24:  |-  (. ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) ).
26:25:  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  (  x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
27:10:  |-  (. ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) ).
28:27:  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
29::  |-  (. ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) ).
30:29:  |-  (. ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->.  x  e.  A ).
31:30:  |-  (. ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) ).
32:31:  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  (  x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
33:22,26:  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  \/  ( x  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
34:28,32:  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  \/  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
35:33,34:  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  \/  ( x  e.  A  /\  x  e.  A ) )  \/  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  \/  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
36::  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  \/  ( x  e.  A  /\  x  e.  A ) )  \/  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  \/  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
37:36,35:  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) ) )
38:17,37:  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
39::  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
40:39:  |-  ( -.  x  e.  ( C  \  A )  <->  -.  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
41::  |-  ( -.  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
42:40,41:  |-  ( -.  x  e.  ( C  \  A )  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
43::  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B  ) )
44:43,42:  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  ( C  \  A )  )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  /\  x  e.  A ) ) )
45::  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )  <->  (  x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  ( C  \  A ) ) )
46:45,44:  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )  <->  (  ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
47:4,38:  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
48:46,47:  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  x  e.  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) ) )
49:48:  |-  A. x ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  x  e.  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) ) )
qed:49:  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )
(Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
undif3VD  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )

Proof of Theorem undif3VD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
2 eldif 3162 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
32orbi2i 505 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
41, 3bitri 240 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )
) )
5 idn1 28342 . . . . . . . . . 10  |-  (. x  e.  A  ->.  x  e.  A ).
6 orc 374 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
75, 6e1_ 28399 . . . . . . . . 9  |-  (. x  e.  A  ->.  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) ).
8 olc 373 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) )
95, 8e1_ 28399 . . . . . . . . 9  |-  (. x  e.  A  ->.  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ).
10 pm3.2 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  ( ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) ) )
117, 9, 10e11 28460 . . . . . . . 8  |-  (. x  e.  A  ->.  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) ).
1211in1 28339 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
13 idn1 28342 . . . . . . . . . . 11  |-  (. (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ).
14 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  x  e.  B )
1513, 14e1_ 28399 . . . . . . . . . 10  |-  (. (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  x  e.  B ).
16 olc 373 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
1715, 16e1_ 28399 . . . . . . . . 9  |-  (. (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  ( x  e.  A  \/  x  e.  B
) ).
18 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  -.  x  e.  C )
1913, 18e1_ 28399 . . . . . . . . . 10  |-  (. (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  -.  x  e.  C ).
20 orc 374 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
2119, 20e1_ 28399 . . . . . . . . 9  |-  (. (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ).
2217, 21, 10e11 28460 . . . . . . . 8  |-  (. (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) ).
2322in1 28339 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
2412, 23jaoi 368 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
25 anddi 840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)  <->  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  \/  ( x  e.  A  /\  x  e.  A ) )  \/  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )  \/  (
x  e.  B  /\  x  e.  A )
) ) )
2625bicomi 193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  \/  (
x  e.  A  /\  x  e.  A )
)  \/  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  \/  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
27 idn1 28342 . . . . . . . . . . 11  |-  (. (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
) ).
28 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  x  e.  A )
2928orcd 381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
3027, 29e1_ 28399 . . . . . . . . . 10  |-  (. (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) ).
3130in1 28339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
32 idn1 28342 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. (
x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  A  /\  x  e.  A ) ).
33 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
3432, 33e1_ 28399 . . . . . . . . . . 11  |-  (. (
x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->.  x  e.  A ).
35 orc 374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
3634, 35e1_ 28399 . . . . . . . . . 10  |-  (. (
x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) ).
3736in1 28339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
3831, 37jaoi 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  \/  ( x  e.  A  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
39 olc 373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
4013, 39e1_ 28399 . . . . . . . . . 10  |-  (. (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) 
->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) ).
4140in1 28339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
42 idn1 28342 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. (
x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) ).
43 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
4442, 43e1_ 28399 . . . . . . . . . . 11  |-  (. (
x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->.  x  e.  A ).
4544, 35e1_ 28399 . . . . . . . . . 10  |-  (. (
x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->.  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) ).
4645in1 28339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
4741, 46jaoi 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  \/  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
4838, 47jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C )  \/  (
x  e.  A  /\  x  e.  A )
)  \/  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  \/  ( x  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C )
) )
4926, 48sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
5024, 49impbii 180 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
514, 50bitri 240 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
52 eldif 3162 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \ 
( C  \  A
) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  ( C  \  A
) ) )
53 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
54 eldif 3162 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
5554notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  ( C 
\  A )  <->  -.  (
x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
) )
56 pm4.53 478 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
5755, 56bitri 240 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  ( C 
\  A )  <->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)
5853, 57anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  ( C  \  A ) )  <-> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
5952, 58bitri 240 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \ 
( C  \  A
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
6051, 59bitr4i 243 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  x  e.  (
( A  u.  B
)  \  ( C  \  A ) ) )
6160ax-gen 1533 . 2  |-  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  ( C  \  A ) ) )
62 dfcleq 2277 . . 3  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \ 
( C  \  A
) )  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  ( C  \  A ) ) ) )
6362biimpri 197 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  ( C  \  A ) ) )  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B ) 
\  ( C  \  A ) ) )
6461, 63e0_ 28547 1  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-vd1 28338
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