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Theorem undif4 3676
Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
undif4  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )

Proof of Theorem undif4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.621 398 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  ->  -.  x  e.  C ) )
2 olc 374 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) )
31, 2impbid1 195 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  <->  -.  x  e.  C ) )
43anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C )
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
) )
5 eldif 3322 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
65orbi2i 506 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
7 ordi 835 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
86, 7bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
9 elun 3480 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
109anbi1i 677 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  C
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
)
114, 8, 103bitr4g 280 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) ) )
12 elun 3480 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
13 eldif 3322 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) )
1411, 12, 133bitr4g 280 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1514alimi 1568 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )  ->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
16 disj1 3662 . 2  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )
)
17 dfcleq 2429 . 2  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1815, 16, 173imtr4i 258 1  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620
This theorem is referenced by:  phplem1  7278  infdifsn  7603  difico  24138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-nul 3621
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