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Theorem undifixp 7090
Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
undifixp  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem undifixp
StepHypRef Expression
1 unexg 4702 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  -> 
( F  u.  G
)  e.  _V )
213adant3 977 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
3 ixpfn 7060 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  F  Fn  B
)
4 ixpfn 7060 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  G  Fn  ( A  \  B ) )
5 3simpa 954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( G  Fn  ( A  \  B )  /\  F  Fn  B )
)
65ancomd 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) ) )
7 disjdif 3692 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
8 fnun 5543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) )  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
96, 7, 8sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
10 undif 3700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
1110biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
1211eqcomd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
13123ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B
) ) )
1413fneq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( ( F  u.  G )  Fn  A  <->  ( F  u.  G )  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
159, 14mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  A )
16153exp 1152 . . . . 5  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
174, 16syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
183, 17syl5com 28 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A
) ) )
19183imp 1147 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  Fn  A )
20 fndm 5536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  dom  G  =  ( A  \  B ) )
21 elndif 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  ( A  \  B ) )
22 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( x  e.  ( A  \  B )  <-> 
x  e.  dom  G
) )
2322notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
2423eqcoms 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
25 ndmfv 5747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  dom  G  ->  ( G `  x
)  =  (/) )
2624, 25syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( G `  x )  =  (/) ) )
2720, 21, 26syl2im 36 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( G `  x
)  =  (/) ) )
2827ralrimiv 2780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/) )
29 elixp2 7058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C 
<->  ( F  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C ) )
3029simp3bi 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C )
31 uneq2 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( ( F `  x )  u.  (/) ) )
32 un0 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  u.  (/) )  =  ( F `  x )
33 eqtr 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
34 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
3534biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3635eqcoms 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3831, 32, 37sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
3938com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( G `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
4039ral2imi 2774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
4130, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4228, 41syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
434, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4443impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C )
45 fndm 5536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  B  ->  dom  F  =  B )
46 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
47 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  dom  F ) )
4847notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  <->  -.  x  e.  dom  F ) )
49 ndmfv 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  dom  F  ->  ( F `  x
)  =  (/) )
5048, 49syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5150eqcoms 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  =  B  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5245, 46, 51syl2im 36 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( F `  x
)  =  (/) ) )
5352ralrimiv 2780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( F `  x )  =  (/) )
54 elixp2 7058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  \  B )  /\  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
) )
5554simp3bi 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
)
56 uneq1 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( (/)  u.  ( G `  x )
) )
57 uncom 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) )
58 eqtr 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) ) )
59 un0 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  x )  u.  (/) )  =  ( G `  x )
60 eqtr 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x ) )
61 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6261biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6362eqcoms 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6460, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6558, 59, 64sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( G `
 x )  e.  C  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6656, 57, 65sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6766com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6867ral2imi 2774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( G `
 x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6955, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7053, 69syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  B  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
713, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7271imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
73 ralunb 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B
) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  e.  C  <->  ( A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C  /\  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7444, 72, 73sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
7574ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
76 raleq 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C  <->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7776imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)  <->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7875, 77syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7978eqcoms 2438 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8010, 79sylbi 188 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8180com3l 77 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
82813imp 1147 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)
83 df-fn 5449 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) ) )
84 df-fn 5449 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  B ) )
85 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  ->  Fun  F )
86 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  Fun  G )
8785, 86anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
88873adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
89 ineq12 3529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )
9089, 7syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
9190ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
92913adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
93 fvun 5785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( F  u.  G ) `  x
)  =  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) ) )
9488, 92, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( F  u.  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) ) )
9594eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
9695ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
97963exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  -> 
( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  (
( F  u.  G
) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) ) )
9884, 97sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A 
\  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
9998com12 29 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  -> 
( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
10083, 99sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1014, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1023, 101syl5com 28 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
1031023imp 1147 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
10482, 103mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C
)
105 elixp2 7058 . 2  |-  ( ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  ( F  u.  G
)  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G
) `  x )  e.  C ) )
1062, 19, 104, 105syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   dom cdm 4870   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   X_cixp 7055
This theorem is referenced by:  ptuncnv  17831  ptunhmeo  17832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-ixp 7056
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