Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undom Unicode version

Theorem undom 6950
 Description: Dominance law for union. Proposition 4.24(a) of [Mendelson] p. 257. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
undom

Proof of Theorem undom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6869 . . . . . . 7
21brrelex2i 4730 . . . . . 6
3 domeng 6876 . . . . . 6
42, 3syl 15 . . . . 5
54ibi 232 . . . 4
61brrelexi 4729 . . . . . . 7
7 difss 3303 . . . . . . 7
8 ssdomg 6907 . . . . . . 7
96, 7, 8ee10 1366 . . . . . 6
10 domtr 6914 . . . . . 6
119, 10mpancom 650 . . . . 5
121brrelex2i 4730 . . . . . . 7
13 domeng 6876 . . . . . . 7
1412, 13syl 15 . . . . . 6
1514ibi 232 . . . . 5
1611, 15syl 15 . . . 4
175, 16anim12i 549 . . 3
19 eeanv 1854 . . 3
20 simprll 738 . . . . . . 7
21 simprrl 740 . . . . . . 7
22 disjdif 3526 . . . . . . . 8
2322a1i 10 . . . . . . 7
24 ss2in 3396 . . . . . . . . . 10
2524ad2ant2l 726 . . . . . . . . 9
2625adantl 452 . . . . . . . 8
27 simplr 731 . . . . . . . 8
28 sseq0 3486 . . . . . . . 8
2926, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . 7
30 undif2 3530 . . . . . . . 8
31 unen 6943 . . . . . . . 8
3230, 31syl5eqbrr 4057 . . . . . . 7
3320, 21, 23, 29, 32syl22anc 1183 . . . . . 6
342ad3antrrr 710 . . . . . . . 8
35 simpllr 735 . . . . . . . . 9
361brrelex2i 4730 . . . . . . . . 9
3735, 36syl 15 . . . . . . . 8
38 unexg 4521 . . . . . . . 8
3934, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . 7
40 unss12 3347 . . . . . . . . 9
4140ad2ant2l 726 . . . . . . . 8
4241adantl 452 . . . . . . 7
43 ssdomg 6907 . . . . . . 7
4439, 42, 43sylc 56 . . . . . 6
45 endomtr 6919 . . . . . 6
4633, 44, 45syl2anc 642 . . . . 5
4746ex 423 . . . 4
4847exlimdvv 1668 . . 3
4919, 48syl5bir 209 . 2
5018, 49mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455   class class class wbr 4023   cen 6860   cdom 6861 This theorem is referenced by:  domunsncan  6962  domunsn  7011  sucdom2  7057  unxpdom2  7071  sucxpdom  7072  fodomfi  7135  uncdadom  7797  cdadom1  7812 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-en 6864  df-dom 6865
 Copyright terms: Public domain W3C validator