Theorem unfi 4551

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144.

Assertion

Ref	Expression
unfi	|- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A u. B) e. Fin)

Proof of Theorem unfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 1778	. . . 4 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) <-> (E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y))
2		isfi 4382	. . . . 5 |- (A e. Fin <-> E.x e. om A ~~ x)
3		isfi 4382	. . . . 5 |- ((B \ A) e. Fin <-> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
4	2, 3	anbi12i 482	. . . 4 |- ((A e. Fin /\ (B \ A) e. Fin) <-> (E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y))
5	1, 4	bitr4 176	. . 3 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) <-> (A e. Fin /\ (B \ A) e. Fin))
6		undif2 2341	. . . . . . . . 9 |- (A u. (B \ A)) = (A u. B)
7	6	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (A u. (B \ A)) = (A u. B))
8		nnaword1 4244	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om /\ y e. om) -> x (_ (x +o y))
9		undif 2343	. . . . . . . . 9 |- (x (_ (x +o y) <-> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
10	8, 9	sylib 198	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
11	7, 10	breq12d 2631	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)) <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
12		difdisj 2337	. . . . . . . . 9 |- (A i^i (B \ A)) = (/)
13		difdisj 2337	. . . . . . . . 9 |- (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/)
14	12, 13	pm3.2i 285	. . . . . . . 8 |- ((A i^i (B \ A)) = (/) /\ (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/))
15		unen 4434	. . . . . . . 8 |- (((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) /\ ((A i^i (B \ A)) = (/) /\ (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/))) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
16	14, 15	mpan2 696	. . . . . . 7 |- ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
17	11, 16	syl5bi 208	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
18		unfilem3 4550	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> y ~~ ((x +o y) \ x))
19		entrt 4414	. . . . . . . 8 |- (((B \ A) ~~ y /\ y ~~ ((x +o y) \ x)) -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x))
20	19	expcom 374	. . . . . . 7 |- (y ~~ ((x +o y) \ x) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
21	18, 20	syl 10	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
22	17, 21	sylan2d 458	. . . . 5 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
23		nnacl 4229	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x +o y) e. om)
24		breq2 2623	. . . . . . . . 9 |- (z = (x +o y) -> ((A u. B) ~~ z <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
25	24	rcla4ev 1877	. . . . . . . 8 |- (((x +o y) e. om /\ (A u. B) ~~ (x +o y)) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
26		isfi 4382	. . . . . . . 8 |- ((A u. B) e. Fin <-> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
27	25, 26	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (((x +o y) e. om /\ (A u. B) ~~ (x +o y)) -> (A u. B) e. Fin)
28	27	ex 373	. . . . . 6 |- ((x +o y) e. om -> ((A u. B) ~~ (x +o y) -> (A u. B) e. Fin))
29	23, 28	syl 10	. . . . 5 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A u. B) ~~ (x +o y) -> (A u. B) e. Fin))
30	22, 29	syld 27	. . . 4 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) e. Fin))
31	30	r19.23aivv 1748	. . 3 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) e. Fin)
32	5, 31	sylbir 201	. 2 |- ((A e. Fin /\ (B \ A) e. Fin) -> (A u. B) e. Fin)
33		difss 2167	. . 3 |- (B \ A) (_ B
34		ssfi 4537	. . 3 |- ((B e. Fin /\ (B \ A) (_ B) -> (B \ A) e. Fin)
35	33, 34	mpan2 696	. 2 |- (B e. Fin -> (B \ A) e. Fin)
36	32, 35	sylan2 451	1 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A u. B) e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   \ cdif 2044   u. cun 2045   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130   ~~ cen 4364  Fincfn 4367

This theorem is referenced by:  prfi 4555  infi1 10447  ficli 10472  infi 10578  rcfpfillem4 10591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-er 4261  df-en 4368  df-fin 4371

Copyright terms: Public domain