MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi Unicode version

Theorem unfi 7140
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
unfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem unfi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 7105 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
2 reeanv 2720 . . . 4  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  <->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  /\  E. y  e. 
om  ( B  \  A )  ~~  y
) )
3 isfi 6901 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 6901 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  <->  E. y  e.  om  ( B  \  A )  ~~  y
)
53, 4anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  <->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  /\  E. y  e. 
om  ( B  \  A )  ~~  y
) )
62, 5bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  <->  ( A  e.  Fin  /\  ( B 
\  A )  e. 
Fin ) )
7 nnacl 6625 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  +o  y
)  e.  om )
8 unfilem3 7139 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  y  ~~  ( ( x  +o  y ) 
\  x ) )
9 entr 6929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  \  A
)  ~~  y  /\  y  ~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  -> 
( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) )
109expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( y 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x )  ->  (
( B  \  A
)  ~~  y  ->  ( B  \  A ) 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) ) )
118, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( B  \  A )  ~~  y  ->  ( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) ) )
12 disjdif 3539 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
13 disjdif 3539 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  =  (/)
14 unen 6959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) )  /\  ( ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)  /\  ( x  i^i  ( ( x  +o  y )  \  x
) )  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  ~~  ( x  u.  (
( x  +o  y
)  \  x )
) )
1512, 13, 14mpanr12 666 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A ) 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  -> 
( A  u.  ( B  \  A ) ) 
~~  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x
) ) )
16 undif2 3543 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
1716a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B ) )
18 nnaword1 6643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  x  C_  ( x  +o  y ) )
19 undif 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( x  +o  y )  <->  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x
) )  =  ( x  +o  y ) )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  u.  (
( x  +o  y
)  \  x )
)  =  ( x  +o  y ) )
2117, 20breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  u.  ( B  \  A ) )  ~~  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  <->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2215, 21syl5ib 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  (
( x  +o  y
)  \  x )
)  ->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2311, 22sylan2d 468 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y
)  ->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
24 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  +o  y )  ->  (
( A  u.  B
)  ~~  z  <->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2524rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +o  y
)  e.  om  /\  ( A  u.  B
)  ~~  ( x  +o  y ) )  ->  E. z  e.  om  ( A  u.  B
)  ~~  z )
26 isfi 6901 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  <->  E. z  e.  om  ( A  u.  B )  ~~  z
)
2725, 26sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( x  +o  y
)  e.  om  /\  ( A  u.  B
)  ~~  ( x  +o  y ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  Fin )
287, 23, 27ee12an 1353 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y
)  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
2928rexlimivv 2685 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
306, 29sylbir 204 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( A  u.  B
)  e.  Fin )
311, 30sylan2 460 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   omcom 4672  (class class class)co 5874    +o coa 6492    ~~ cen 6876   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  unfi2  7142  difinf  7143  xpfi  7144  prfi  7147  tpfi  7148  fnfi  7150  iunfi  7160  pwfilem  7166  fiin  7191  wemapso2  7283  cantnfp1lem1  7396  ficardun2  7845  ackbij1lem6  7867  ackbij1lem16  7877  fin23lem28  7982  fin23lem30  7984  isfin1-3  8028  axcclem  8099  hashun  11380  hashunlei  11393  hashmap  11403  hashbclem  11406  hashf1lem1  11409  hashf1lem2  11410  hashf1  11411  incexclem  12311  isumltss  12323  ramub1lem1  13089  fpwipodrs  14283  acsfiindd  14296  gsumzaddlem  15219  gsumunsn  15237  dprdfadd  15271  psrbagaddcl  16132  mplsubg  16197  mpllss  16198  fctop  16757  uncmp  17146  1stckgenlem  17264  ptbasin  17288  cfinfil  17604  fin1aufil  17643  alexsubALTlem3  17759  tmdgsum  17794  tsmsfbas  17826  tsmsgsum  17837  tsmsres  17842  tsmsxplem1  17851  prdsmet  17950  prdsbl  18053  icccmplem2  18344  ovolfiniun  18876  volfiniun  18920  fta1glem2  19568  fta1lem  19703  aannenlem2  19725  aalioulem2  19729  dchrfi  20510  ballotlemgun  23099  vdgrun  23908  konigsberg  23926  itg2addnclem2  25004  locfincmp  26407  comppfsc  26410  prdsbnd  26620  funsnfsup  26865  elrfi  26872  mzpcompact2lem  26932  eldioph2  26944  lsmfgcl  27275  dsmmacl  27310  symgfisg  27512  fiuneneq  27616  pclfinN  30711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator