MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi Unicode version

Theorem unfi 7124
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
unfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem unfi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 7089 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
2 reeanv 2707 . . . 4  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  <->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  /\  E. y  e. 
om  ( B  \  A )  ~~  y
) )
3 isfi 6885 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 6885 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  <->  E. y  e.  om  ( B  \  A )  ~~  y
)
53, 4anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  <->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  /\  E. y  e. 
om  ( B  \  A )  ~~  y
) )
62, 5bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  <->  ( A  e.  Fin  /\  ( B 
\  A )  e. 
Fin ) )
7 nnacl 6609 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  +o  y
)  e.  om )
8 unfilem3 7123 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  y  ~~  ( ( x  +o  y ) 
\  x ) )
9 entr 6913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  \  A
)  ~~  y  /\  y  ~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  -> 
( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) )
109expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( y 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x )  ->  (
( B  \  A
)  ~~  y  ->  ( B  \  A ) 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) ) )
118, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( B  \  A )  ~~  y  ->  ( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) ) )
12 disjdif 3526 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
13 disjdif 3526 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  =  (/)
14 unen 6943 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) )  /\  ( ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)  /\  ( x  i^i  ( ( x  +o  y )  \  x
) )  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  ~~  ( x  u.  (
( x  +o  y
)  \  x )
) )
1512, 13, 14mpanr12 666 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A ) 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  -> 
( A  u.  ( B  \  A ) ) 
~~  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x
) ) )
16 undif2 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
1716a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B ) )
18 nnaword1 6627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  x  C_  ( x  +o  y ) )
19 undif 3534 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( x  +o  y )  <->  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x
) )  =  ( x  +o  y ) )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  u.  (
( x  +o  y
)  \  x )
)  =  ( x  +o  y ) )
2117, 20breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  u.  ( B  \  A ) )  ~~  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  <->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2215, 21syl5ib 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  (
( x  +o  y
)  \  x )
)  ->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2311, 22sylan2d 468 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y
)  ->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
24 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  +o  y )  ->  (
( A  u.  B
)  ~~  z  <->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2524rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +o  y
)  e.  om  /\  ( A  u.  B
)  ~~  ( x  +o  y ) )  ->  E. z  e.  om  ( A  u.  B
)  ~~  z )
26 isfi 6885 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  <->  E. z  e.  om  ( A  u.  B )  ~~  z
)
2725, 26sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( x  +o  y
)  e.  om  /\  ( A  u.  B
)  ~~  ( x  +o  y ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  Fin )
287, 23, 27ee12an 1353 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y
)  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
2928rexlimivv 2672 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
306, 29sylbir 204 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( A  u.  B
)  e.  Fin )
311, 30sylan2 460 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   omcom 4656  (class class class)co 5858    +o coa 6476    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  unfi2  7126  difinf  7127  xpfi  7128  prfi  7131  tpfi  7132  fnfi  7134  iunfi  7144  pwfilem  7150  fiin  7175  wemapso2  7267  cantnfp1lem1  7380  ficardun2  7829  ackbij1lem6  7851  ackbij1lem16  7861  fin23lem28  7966  fin23lem30  7968  isfin1-3  8012  axcclem  8083  hashun  11364  hashunlei  11377  hashmap  11387  hashbclem  11390  hashf1lem1  11393  hashf1lem2  11394  hashf1  11395  incexclem  12295  isumltss  12307  ramub1lem1  13073  fpwipodrs  14267  acsfiindd  14280  gsumzaddlem  15203  gsumunsn  15221  dprdfadd  15255  psrbagaddcl  16116  mplsubg  16181  mpllss  16182  fctop  16741  uncmp  17130  1stckgenlem  17248  ptbasin  17272  cfinfil  17588  fin1aufil  17627  alexsubALTlem3  17743  tmdgsum  17778  tsmsfbas  17810  tsmsgsum  17821  tsmsres  17826  tsmsxplem1  17835  prdsmet  17934  prdsbl  18037  icccmplem2  18328  ovolfiniun  18860  volfiniun  18904  fta1glem2  19552  fta1lem  19687  aannenlem2  19709  aalioulem2  19713  dchrfi  20494  ballotlemgun  23083  vdgrun  23304  konigsberg  23322  locfincmp  25716  comppfsc  25719  prdsbnd  25929  funsnfsup  26174  elrfi  26181  mzpcompact2lem  26241  eldioph2  26253  lsmfgcl  26584  dsmmacl  26619  symgfisg  26821  fiuneneq  26925  pclfinN  29462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator