MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi Structured version   Unicode version

Theorem unfi 7374
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
unfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem unfi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 7339 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
2 reeanv 2875 . . . 4  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  <->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  /\  E. y  e. 
om  ( B  \  A )  ~~  y
) )
3 isfi 7131 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
4 isfi 7131 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  <->  E. y  e.  om  ( B  \  A )  ~~  y
)
53, 4anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  <->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  /\  E. y  e. 
om  ( B  \  A )  ~~  y
) )
62, 5bitr4i 244 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  <->  ( A  e.  Fin  /\  ( B 
\  A )  e. 
Fin ) )
7 nnacl 6854 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  +o  y
)  e.  om )
8 unfilem3 7373 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  y  ~~  ( ( x  +o  y ) 
\  x ) )
9 entr 7159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  \  A
)  ~~  y  /\  y  ~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  -> 
( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) )
109expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( y 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x )  ->  (
( B  \  A
)  ~~  y  ->  ( B  \  A ) 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) ) )
118, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( B  \  A )  ~~  y  ->  ( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) ) )
12 disjdif 3700 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
13 disjdif 3700 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  =  (/)
14 unen 7189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A
)  ~~  ( (
x  +o  y ) 
\  x ) )  /\  ( ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)  /\  ( x  i^i  ( ( x  +o  y )  \  x
) )  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  ~~  ( x  u.  (
( x  +o  y
)  \  x )
) )
1512, 13, 14mpanr12 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A ) 
~~  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  -> 
( A  u.  ( B  \  A ) ) 
~~  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x
) ) )
16 undif2 3704 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B ) )
18 nnaword1 6872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  x  C_  ( x  +o  y ) )
19 undif 3708 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( x  +o  y )  <->  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x
) )  =  ( x  +o  y ) )
2018, 19sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  u.  (
( x  +o  y
)  \  x )
)  =  ( x  +o  y ) )
2117, 20breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  u.  ( B  \  A ) )  ~~  ( x  u.  ( ( x  +o  y )  \  x ) )  <->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2215, 21syl5ib 211 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  (
( x  +o  y
)  \  x )
)  ->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2311, 22sylan2d 469 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y
)  ->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
24 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  +o  y )  ->  (
( A  u.  B
)  ~~  z  <->  ( A  u.  B )  ~~  (
x  +o  y ) ) )
2524rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +o  y
)  e.  om  /\  ( A  u.  B
)  ~~  ( x  +o  y ) )  ->  E. z  e.  om  ( A  u.  B
)  ~~  z )
26 isfi 7131 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  <->  E. z  e.  om  ( A  u.  B )  ~~  z
)
2725, 26sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( x  +o  y
)  e.  om  /\  ( A  u.  B
)  ~~  ( x  +o  y ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  Fin )
287, 23, 27ee12an 1372 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y
)  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
2928rexlimivv 2835 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  ( A  ~~  x  /\  ( B  \  A )  ~~  y )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
306, 29sylbir 205 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( A  u.  B
)  e.  Fin )
311, 30sylan2 461 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   omcom 4845  (class class class)co 6081    +o coa 6721    ~~ cen 7106   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  unfi2  7376  difinf  7377  xpfi  7378  prfi  7381  tpfi  7382  fnfi  7384  iunfi  7394  pwfilem  7401  fiin  7427  wemapso2  7521  cantnfp1lem1  7634  ficardun2  8083  ackbij1lem6  8105  ackbij1lem16  8115  fin23lem28  8220  fin23lem30  8222  isfin1-3  8266  axcclem  8337  hashun  11656  hashunlei  11684  hashmap  11698  hashbclem  11701  hashf1lem1  11704  hashf1lem2  11705  hashf1  11706  incexclem  12616  isumltss  12628  ramub1lem1  13394  fpwipodrs  14590  acsfiindd  14603  gsumzaddlem  15526  gsumunsn  15544  dprdfadd  15578  psrbagaddcl  16435  mplsubg  16500  mpllss  16501  fctop  17068  uncmp  17466  1stckgenlem  17585  ptbasin  17609  cfinfil  17925  fin1aufil  17964  alexsubALTlem3  18080  tmdgsum  18125  tsmsfbas  18157  tsmsgsum  18168  tsmsres  18173  tsmsxplem1  18182  prdsmet  18400  prdsbl  18521  icccmplem2  18854  ovolfiniun  19397  volfiniun  19441  fta1glem2  20089  fta1lem  20224  aannenlem2  20246  aalioulem2  20250  dchrfi  21039  usgrafilem2  21426  vdgrfiun  21673  konigsberg  21709  ballotlemgun  24782  itg2addnclem2  26257  ftc1anclem7  26286  ftc1anc  26288  locfincmp  26384  comppfsc  26387  prdsbnd  26502  funsnfsup  26743  elrfi  26748  mzpcompact2lem  26808  eldioph2  26820  lsmfgcl  27149  dsmmacl  27184  symgfisg  27386  fiuneneq  27490  pclfinN  30697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator