MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi2 Structured version   Unicode version

Theorem unfi2 7368
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 7366 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 7362). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfi2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )

Proof of Theorem unfi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7357 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 isfinite2 7357 . . 3  |-  ( B 
~<  om  ->  B  e.  Fin )
3 unfi 7366 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
5 fin2inf 7362 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
65adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  om  e.  _V )
7 isfiniteg 7359 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (
( A  u.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  ~<  om )
)
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  ~<  om )
)
94, 8mpbid 202 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310   class class class wbr 4204   omcom 4837    ~< csdm 7100   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  cdafi  8062  cdainflem  8063  infunsdom1  8085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator