MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi2 Unicode version

Theorem unfi2 7312
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 7310 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 7306). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfi2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )

Proof of Theorem unfi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7301 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 isfinite2 7301 . . 3  |-  ( B 
~<  om  ->  B  e.  Fin )
3 unfi 7310 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
5 fin2inf 7306 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
65adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  om  e.  _V )
7 isfiniteg 7303 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (
( A  u.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  ~<  om )
)
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  ~<  om )
)
94, 8mpbid 202 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    u. cun 3261   class class class wbr 4153   omcom 4785    ~< csdm 7044   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  cdafi  8003  cdainflem  8004  infunsdom1  8026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator