Theorem unfilem1 4548

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite.

Hypotheses

Ref	Expression
unfilem1.1	|- A e. om
unfilem1.2	|- B e. om
unfilem1.3	|- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}

Assertion

Ref	Expression
unfilem1	|- ran F = ((A +o B) \ A)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem unfilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnopab 3353	. 2 |- ran {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} = {y | E.x(x e. B /\ y = (A +o x))}
2		unfilem1.3	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}
3	2	rneqi 3340	. 2 |- ran F = ran {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}
4		eldif 2057	. . . 4 |- (y e. ((A +o B) \ A) <-> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
5		unfilem1.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. om
6		unfilem1.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. om
7		nnacl 4229	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)
8	5, 6, 7	mp2an 697	. . . . . . . . 9 |- (A +o B) e. om
9		elnn 3142	. . . . . . . . 9 |- ((y e. (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> y e. om)
10	8, 9	mpan2 696	. . . . . . . 8 |- (y e. (A +o B) -> y e. om)
11		ordtri1 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord A /\ Ord y) -> (A (_ y <-> -. y e. A))
12		nnord 3140	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. om -> Ord A)
13		nnord 3140	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. om -> Ord y)
14	11, 12, 13	syl2an 454	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A (_ y <-> -. y e. A))
15		nnawordex 4250	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A (_ y <-> E.x e. om (A +o x) = y))
16	14, 15	bitr3d 530	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (-. y e. A <-> E.x e. om (A +o x) = y))
17	5, 16	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (-. y e. A <-> E.x e. om (A +o x) = y))
18		df-rex 1650	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. om (A +o x) = y <-> E.x(x e. om /\ (A +o x) = y))
19	17, 18	syl6bb 536	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> (-. y e. A <-> E.x(x e. om /\ (A +o x) = y)))
20	10, 19	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. (A +o B) -> (-. y e. A <-> E.x(x e. om /\ (A +o x) = y)))
21		nnaord 4235	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. om /\ B e. om /\ A e. om) -> (x e. B <-> (A +o x) e. (A +o B)))
22	6, 5, 21	mp3an23 908	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. om -> (x e. B <-> (A +o x) e. (A +o B)))
23		eleq1 1534	. . . . . . . . . . 11 |- ((A +o x) = y -> ((A +o x) e. (A +o B) <-> y e. (A +o B)))
24	22, 23	sylan9bb 540	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> (x e. B <-> y e. (A +o B)))
25	24	biimprcd 156	. . . . . . . . 9 |- (y e. (A +o B) -> ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> x e. B))
26		eqcom 1477	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o x) = y <-> y = (A +o x))
27	26	biimp 151	. . . . . . . . . . 11 |- ((A +o x) = y -> y = (A +o x))
28	27	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> y = (A +o x))
29	28	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (y e. (A +o B) -> ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> y = (A +o x)))
30	25, 29	jcad 600	. . . . . . . 8 |- (y e. (A +o B) -> ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> (x e. B /\ y = (A +o x))))
31	30	19.22dv 1290	. . . . . . 7 |- (y e. (A +o B) -> (E.x(x e. om /\ (A +o x) = y) -> E.x(x e. B /\ y = (A +o x))))
32	20, 31	sylbid 203	. . . . . 6 |- (y e. (A +o B) -> (-. y e. A -> E.x(x e. B /\ y = (A +o x))))
33	32	imp 350	. . . . 5 |- ((y e. (A +o B) /\ -. y e. A) -> E.x(x e. B /\ y = (A +o x)))
34		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- (y = (A +o x) -> (y e. (A +o B) <-> (A +o x) e. (A +o B)))
35		eleq1 1534	. . . . . . . . . 10 |- (y = (A +o x) -> (y e. A <-> (A +o x) e. A))
36	35	negbid 611	. . . . . . . . 9 |- (y = (A +o x) -> (-. y e. A <-> -. (A +o x) e. A))
37	34, 36	anbi12d 628	. . . . . . . 8 |- (y = (A +o x) -> ((y e. (A +o B) /\ -. y e. A) <-> ((A +o x) e. (A +o B) /\ -. (A +o x) e. A)))
38	37	biimparc 419	. . . . . . 7 |- ((((A +o x) e. (A +o B) /\ -. (A +o x) e. A) /\ y = (A +o x)) -> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
39		elnn 3142	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. B /\ B e. om) -> x e. om)
40	6, 39	mpan2 696	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B -> x e. om)
41	40, 22	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (x e. B -> (x e. B <-> (A +o x) e. (A +o B)))
42	41	ibi 592	. . . . . . . 8 |- (x e. B -> (A +o x) e. (A +o B))
43		nnaword1 4244	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ x e. om) -> A (_ (A +o x))
44		nnacl 4229	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A +o x) e. om)
45		nnord 3140	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o x) e. om -> Ord (A +o x))
46	5, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord A
47		ordtri1 2980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Ord A /\ Ord (A +o x)) -> (A (_ (A +o x) <-> -. (A +o x) e. A))
48	46, 47	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord (A +o x) -> (A (_ (A +o x) <-> -. (A +o x) e. A))
49	44, 45, 48	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A (_ (A +o x) <-> -. (A +o x) e. A))
50	43, 49	mpbid 195	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ x e. om) -> -. (A +o x) e. A)
51	5, 50	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (x e. om -> -. (A +o x) e. A)
52	40, 51	syl 10	. . . . . . . 8 |- (x e. B -> -. (A +o x) e. A)
53	42, 52	jca 288	. . . . . . 7 |- (x e. B -> ((A +o x) e. (A +o B) /\ -. (A +o x) e. A))
54	38, 53	sylan 448	. . . . . 6 |- ((x e. B /\ y = (A +o x)) -> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
55	54	19.23aiv 1295	. . . . 5 |- (E.x(x e. B /\ y = (A +o x)) -> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
56	33, 55	impbi 157	. . . 4 |- ((y e. (A +o B) /\ -. y e. A) <-> E.x(x e. B /\ y = (A +o x)))
57	4, 56	bitr 173	. . 3 |- (y e. ((A +o B) \ A) <-> E.x(x e. B /\ y = (A +o x)))
58	57	abbi2i 1574	. 2 |- ((A +o B) \ A) = {y | E.x(x e. B /\ y = (A +o x))}
59	1, 3, 58	3eqtr4 1505	1 |- ran F = ((A +o B) \ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  E.wrex 1646   \ cdif 2044   (_ wss 2047  {copab 2666  Ord word 2947  omcom 3131  ran crn 3171  (class class class)co 3963   +o coa 4130

This theorem is referenced by:  unfilem2 4549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135

Copyright terms: Public domain