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Theorem unfilem1 7363
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unfilem1.1  |-  A  e. 
om
unfilem1.2  |-  B  e. 
om
unfilem1.3  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )
Assertion
Ref Expression
unfilem1  |-  ran  F  =  ( ( A  +o  B )  \  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem unfilem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unfilem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
om
2 elnn 4847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  x  e.  om )
31, 2mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  om )
4 unfilem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
om
5 nnaord 6854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
x  e.  B  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
61, 4, 5mp3an23 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  B  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
73, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  B  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
87ibi 233 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B
) )
9 nnaword1 6864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
10 nnord 4845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
114, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  A
12 nnacl 6846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )
13 nnord 4845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  x )  e.  om  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  Ord  ( A  +o  x ) )
15 ordtri1 4606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  ( A  +o  x
) )  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  A ) )
1611, 14, 15sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  A ) )
179, 16mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  -.  ( A  +o  x )  e.  A
)
184, 3, 17sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  -.  ( A  +o  x
)  e.  A )
198, 18jca 519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  ( A  +o  x
)  e.  A ) )
20 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  (
y  e.  ( A  +o  B )  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
21 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  (
y  e.  A  <->  ( A  +o  x )  e.  A
) )
2221notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  -.  ( A  +o  x
)  e.  A ) )
2320, 22anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  (
( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A )  <->  ( ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B
)  /\  -.  ( A  +o  x )  e.  A ) ) )
2423biimparc 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  ( A  +o  x )  e.  A )  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A ) )
2519, 24sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A ) )
2625rexlimiva 2817 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x )  ->  (
y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A
) )
274, 1nnacli 6849 . . . . . . . 8  |-  ( A  +o  B )  e. 
om
28 elnn 4847 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( A  +o  B )  /\  ( A  +o  B
)  e.  om )  ->  y  e.  om )
2927, 28mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  y  e.  om )
30 nnord 4845 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
31 ordtri1 4606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  y )  ->  ( A  C_  y  <->  -.  y  e.  A ) )
3210, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  C_  y  <->  -.  y  e.  A ) )
33 nnawordex 6872 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  C_  y  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  y ) )
3432, 33bitr3d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  y ) )
354, 29, 34sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  y ) )
36 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( A  +o  B )  <->  y  e.  ( A  +o  B
) ) )
376, 36sylan9bb 681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( x  e.  B  <->  y  e.  ( A  +o  B ) ) )
3837biimprcd 217 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  (
( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  x  e.  B
) )
39 eqcom 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  <->  y  =  ( A  +o  x
) )
4039biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  y  =  ( A  +o  x ) )
4140adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  y  =  ( A  +o  x ) )
4241a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  (
( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  y  =  ( A  +o  x ) ) )
4338, 42jcad 520 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  (
( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) ) )
4443reximdv2 2807 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  ( E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  y  ->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x ) ) )
4535, 44sylbid 207 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x ) ) )
4645imp 419 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A
)  ->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x
) )
4726, 46impbii 181 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x )  <->  ( y  e.  ( A  +o  B
)  /\  -.  y  e.  A ) )
48 unfilem1.3 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )
49 ovex 6098 . . . 4  |-  ( A  +o  x )  e. 
_V
5048, 49elrnmpti 5113 . . 3  |-  ( y  e.  ran  F  <->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x
) )
51 eldif 3322 . . 3  |-  ( y  e.  ( ( A  +o  B )  \  A )  <->  ( y  e.  ( A  +o  B
)  /\  -.  y  e.  A ) )
5247, 50, 513bitr4i 269 . 2  |-  ( y  e.  ran  F  <->  y  e.  ( ( A  +o  B )  \  A
) )
5352eqriv 2432 1  |-  ran  F  =  ( ( A  +o  B )  \  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    \ cdif 3309    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   Ord word 4572   omcom 4837   ran crn 4871  (class class class)co 6073    +o coa 6713
This theorem is referenced by:  unfilem2  7364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720
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