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Theorem unfilem1 7137
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unfilem1.1  |-  A  e. 
om
unfilem1.2  |-  B  e. 
om
unfilem1.3  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )
Assertion
Ref Expression
unfilem1  |-  ran  F  =  ( ( A  +o  B )  \  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem unfilem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unfilem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
om
2 elnn 4682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  x  e.  om )
31, 2mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  om )
4 unfilem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
om
5 nnaord 6633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
x  e.  B  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
61, 4, 5mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  B  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
73, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  B  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
87ibi 232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B
) )
9 nnaword1 6643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
10 nnord 4680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
114, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  A
12 nnacl 6625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )
13 nnord 4680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  x )  e.  om  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  Ord  ( A  +o  x ) )
15 ordtri1 4441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  ( A  +o  x
) )  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  A ) )
1611, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  A ) )
179, 16mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  -.  ( A  +o  x )  e.  A
)
184, 3, 17sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  -.  ( A  +o  x
)  e.  A )
198, 18jca 518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  ( A  +o  x
)  e.  A ) )
20 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  (
y  e.  ( A  +o  B )  <->  ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B ) ) )
21 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  (
y  e.  A  <->  ( A  +o  x )  e.  A
) )
2221notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  -.  ( A  +o  x
)  e.  A ) )
2320, 22anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A  +o  x )  ->  (
( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A )  <->  ( ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B
)  /\  -.  ( A  +o  x )  e.  A ) ) )
2423biimparc 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  +o  x )  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  ( A  +o  x )  e.  A )  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A ) )
2519, 24sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A ) )
2625rexlimiva 2675 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x )  ->  (
y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A
) )
274, 1nnacli 6628 . . . . . . . 8  |-  ( A  +o  B )  e. 
om
28 elnn 4682 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( A  +o  B )  /\  ( A  +o  B
)  e.  om )  ->  y  e.  om )
2927, 28mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  y  e.  om )
30 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
31 ordtri1 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  y )  ->  ( A  C_  y  <->  -.  y  e.  A ) )
3210, 30, 31syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  C_  y  <->  -.  y  e.  A ) )
33 nnawordex 6651 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  C_  y  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  y ) )
3432, 33bitr3d 246 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  y ) )
354, 29, 34sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  ( -.  y  e.  A  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  y ) )
36 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( A  +o  B )  <->  y  e.  ( A  +o  B
) ) )
376, 36sylan9bb 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( x  e.  B  <->  y  e.  ( A  +o  B ) ) )
3837biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  (
( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  x  e.  B
) )
39 eqcom 2298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  <->  y  =  ( A  +o  x
) )
4039biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  y  =  ( A  +o  x ) )
4140adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  y  =  ( A  +o  x ) )
4241a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  (
( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  y  =  ( A  +o  x ) ) )
4338, 42jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  (
( x  e.  om  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( x  e.  B  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) ) )
4443reximdv2 2665 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  ( E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  y  ->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x ) ) )
4535, 44sylbid 206 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  +o  B )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x ) ) )
4645imp 418 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( A  +o  B )  /\  -.  y  e.  A
)  ->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x
) )
4726, 46impbii 180 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x )  <->  ( y  e.  ( A  +o  B
)  /\  -.  y  e.  A ) )
48 unfilem1.3 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )
49 ovex 5899 . . . 4  |-  ( A  +o  x )  e. 
_V
5048, 49elrnmpti 4946 . . 3  |-  ( y  e.  ran  F  <->  E. x  e.  B  y  =  ( A  +o  x
) )
51 eldif 3175 . . 3  |-  ( y  e.  ( ( A  +o  B )  \  A )  <->  ( y  e.  ( A  +o  B
)  /\  -.  y  e.  A ) )
5247, 50, 513bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  ran  F  <->  y  e.  ( ( A  +o  B )  \  A
) )
5352eqriv 2293 1  |-  ran  F  =  ( ( A  +o  B )  \  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   Ord word 4407   omcom 4672   ran crn 4706  (class class class)co 5874    +o coa 6492
This theorem is referenced by:  unfilem2  7138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499
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