MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem3 Unicode version

Theorem unfilem3 7123
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfilem3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  ~~  ( ( A  +o  B ) 
\  A ) )

Proof of Theorem unfilem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  +o  B )  =  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
) )
2 id 19 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  A  =  if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) ) )
31, 2difeq12d 3295 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  +o  B
)  \  A )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
43breq2d 4035 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( B  ~~  ( ( A  +o  B )  \  A )  <->  B  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) ) )
5 id 19 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  B  =  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )
6 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  =  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) )
76difeq1d 3293 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
85, 7breq12d 4036 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( B  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  <-> 
if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  ~~  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) ) )
9 peano1 4675 . . . 4  |-  (/)  e.  om
109elimel 3617 . . 3  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  e. 
om
11 ovex 5883 . . . 4  |-  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  e.  _V
12 difexg 4162 . . . 4  |-  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  e.  _V  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e. 
_V )
1311, 12ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e. 
_V
149elimel 3617 . . . 4  |-  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  e. 
om
15 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  x ) )  =  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  x ) )
1614, 10, 15unfilem2 7122 . . 3  |-  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  x ) ) : if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )
17 f1oen2g 6878 . . 3  |-  ( ( if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  e.  om  /\  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e.  _V  /\  (
x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  x ) ) : if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )  ->  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ~~  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
1810, 13, 16, 17mp3an 1277 . 2  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )
194, 8, 18dedth2h 3607 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  ~~  ( ( A  +o  B ) 
\  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   (/)c0 3455   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858    +o coa 6476    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  unfi  7124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-en 6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator