Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem3 Structured version   Unicode version

Theorem unfilem3 7375
 Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfilem3

Proof of Theorem unfilem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6090 . . . 4
2 id 21 . . . 4
31, 2difeq12d 3468 . . 3
43breq2d 4226 . 2
5 id 21 . . 3
6 oveq2 6091 . . . 4
76difeq1d 3466 . . 3
85, 7breq12d 4227 . 2
9 peano1 4866 . . . 4
109elimel 3793 . . 3
11 ovex 6108 . . . 4
12 difexg 4353 . . . 4
1311, 12ax-mp 8 . . 3
149elimel 3793 . . . 4
15 eqid 2438 . . . 4
1614, 10, 15unfilem2 7374 . . 3
17 f1oen2g 7126 . . 3
1810, 13, 16, 17mp3an 1280 . 2
194, 8, 18dedth2h 3783 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cdif 3319  c0 3630  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268  com 4847  wf1o 5455  (class class class)co 6083   coa 6723   cen 7108 This theorem is referenced by:  unfi  7376 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-en 7112
 Copyright terms: Public domain W3C validator