MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem3 Unicode version

Theorem unfilem3 7139
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfilem3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  ~~  ( ( A  +o  B ) 
\  A ) )

Proof of Theorem unfilem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  +o  B )  =  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
) )
2 id 19 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  A  =  if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) ) )
31, 2difeq12d 3308 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  +o  B
)  \  A )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
43breq2d 4051 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( B  ~~  ( ( A  +o  B )  \  A )  <->  B  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) ) )
5 id 19 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  B  =  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )
6 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  =  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) )
76difeq1d 3306 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
85, 7breq12d 4052 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( B  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  <-> 
if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  ~~  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) ) )
9 peano1 4691 . . . 4  |-  (/)  e.  om
109elimel 3630 . . 3  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  e. 
om
11 ovex 5899 . . . 4  |-  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  e.  _V
12 difexg 4178 . . . 4  |-  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  e.  _V  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e. 
_V )
1311, 12ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e. 
_V
149elimel 3630 . . . 4  |-  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  e. 
om
15 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  x ) )  =  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  x ) )
1614, 10, 15unfilem2 7138 . . 3  |-  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  x ) ) : if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )
17 f1oen2g 6894 . . 3  |-  ( ( if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  e.  om  /\  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e.  _V  /\  (
x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  x ) ) : if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )  ->  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ~~  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
1810, 13, 16, 17mp3an 1277 . 2  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )
194, 8, 18dedth2h 3620 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  ~~  ( ( A  +o  B ) 
\  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874    +o coa 6492    ~~ cen 6876
This theorem is referenced by:  unfi  7140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-en 6880
  Copyright terms: Public domain W3C validator