MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfir Unicode version

Theorem unfir 7338
Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 7337. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
unfir  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )

Proof of Theorem unfir
StepHypRef Expression
1 ssun1 3474 . . 3  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 ssfi 7292 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  Fin  /\  A  C_  ( A  u.  B ) )  ->  A  e.  Fin )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
4 ssun2 3475 . . 3  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
5 ssfi 7292 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  Fin  /\  B  C_  ( A  u.  B ) )  ->  B  e.  Fin )
64, 5mpan2 653 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  B  e.  Fin )
73, 6jca 519 1  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    u. cun 3282    C_ wss 3284   Fincfn 7072
This theorem is referenced by:  difinf  7340  hashunx  11619  funsnfsup  26637  eldioph4b  26766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-er 6868  df-en 7073  df-fin 7076
  Copyright terms: Public domain W3C validator