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Theorem unichnidl 26656
Description: The union of a nonempty chain of ideals is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
unichnidl  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  U. C  e.  ( Idl `  R ) )
Distinct variable groups:    R, i    C, i, j
Allowed substitution hint:    R( j)

Proof of Theorem unichnidl
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss3 3170 . . . . 5  |-  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  <->  A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R ) )
2 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  R )  =  ( 1st `  R )
3 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( 1st `  R )  =  ran  ( 1st `  R
)
42, 3idlss 26641 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  i  C_ 
ran  ( 1st `  R
) )
54ex 423 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( i  e.  ( Idl `  R
)  ->  i  C_  ran  ( 1st `  R
) ) )
65ralimdv 2622 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R )  ->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R ) ) )
76imp 418 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R
) )
81, 7sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R
) )
9 unissb 3857 . . . 4  |-  ( U. C  C_  ran  ( 1st `  R )  <->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R
) )
108, 9sylibr 203 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  U. C  C_ 
ran  ( 1st `  R
) )
11103ad2antr2 1121 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  U. C  C_  ran  ( 1st `  R ) )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (GId `  ( 1st `  R ) )  =  (GId `  ( 1st `  R ) )
132, 12idl0cl 26643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )
1413ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( i  e.  ( Idl `  R
)  ->  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i ) )
1514ralimdv 2622 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R )  ->  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i ) )
1615imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
171, 16sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
18 r19.2z 3543 . . . . . 6  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )  ->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
1917, 18sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) ) )  ->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )
2019an12s 776 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R ) ) )  ->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
21 eluni2 3831 . . . 4  |-  ( (GId
`  ( 1st `  R
) )  e.  U. C 
<->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )
2220, 21sylibr 203 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R ) ) )  ->  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  U. C )
23223adantr3 1116 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  U. C )
24 eluni2 3831 . . . 4  |-  ( x  e.  U. C  <->  E. k  e.  C  x  e.  k )
25 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  k  ->  (
i  C_  j  <->  k  C_  j ) )
26 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  k  ->  (
j  C_  i  <->  j  C_  k ) )
2725, 26orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  ->  (
( i  C_  j  \/  j  C_  i )  <-> 
( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
2827ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  k  ->  ( A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  <->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
2928rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  C  ->  ( A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  C  /\  x  e.  k )  ->  ( A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
3231imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  (
i  C_  j  \/  j  C_  i ) )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) )
33 eluni2 3831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  U. C  <->  E. i  e.  C  y  e.  i )
34 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  i  ->  (
k  C_  j  <->  k  C_  i ) )
35 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  i  ->  (
j  C_  k  <->  i  C_  k ) )
3634, 35orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  i  ->  (
( k  C_  j  \/  j  C_  k )  <-> 
( k  C_  i  \/  i  C_  k ) ) )
3736rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  C  ->  ( A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k )  ->  ( k  C_  i  \/  i  C_  k ) ) )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  ( A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k )  -> 
( k  C_  i  \/  i  C_  k ) ) )
3938imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  -> 
( k  C_  i  \/  i  C_  k ) )
40 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  C_  i  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  i )
4140ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  k  /\  k  C_  i )  ->  x  e.  i )
4241adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  C  /\  x  e.  k
)  /\  k  C_  i )  ->  x  e.  i )
43 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  i  e.  C )  ->  i  e.  ( Idl `  R
) )
442idladdcl 26644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  i  /\  y  e.  i
) )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  i )
4544ancom2s 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( y  e.  i  /\  x  e.  i ) )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  i )
4645expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  /\  y  e.  i )  ->  ( x  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  i ) )
4746an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  y  e.  i )  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  ->  ( x  e.  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
4843, 47sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  y  e.  i )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  i  e.  C )
)  ->  ( x  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
4948an42s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  ( x  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
5049anasss 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R
)  /\  ( i  e.  C  /\  y  e.  i ) ) )  ->  ( x  e.  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
5150imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  x  e.  i )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  i )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  i  e.  C )
5352ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  x  e.  i )  ->  i  e.  C )
54 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x ( 1st `  R ) y )  e.  i  /\  i  e.  C )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  x  e.  i )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
5642, 55sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  (
( k  e.  C  /\  x  e.  k
)  /\  k  C_  i ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
5756expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  ( k  C_  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e. 
U. C ) )
5857an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R
)  /\  ( i  e.  C  /\  y  e.  i ) ) )  ->  ( k  C_  i  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C ) )
5958anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  ( k  C_  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e. 
U. C ) )
6059imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  k  C_  i )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
61 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  C_  k  /\  y  e.  i )  ->  y  e.  k )
6261ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  i  /\  i  C_  k )  -> 
y  e.  k )
6362adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  C  /\  y  e.  i
)  /\  i  C_  k )  ->  y  e.  k )
64 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  ( Idl `  R
) )
652idladdcl 26644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  k
) )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  k )
6665expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  x  e.  k )  ->  ( y  e.  k  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  k ) )
6766an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  x  e.  k )  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  ->  ( y  e.  k  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e.  k ) )
6864, 67sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  x  e.  k )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  k  e.  C )
)  ->  ( y  e.  k  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  k ) )
6968an42s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  ( y  e.  k  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  k ) )
7069an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  (
y  e.  k  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  k ) )
7170imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  y  e.  k )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  k )
72 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  k  e.  C )
7372ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  y  e.  k )  ->  k  e.  C )
74 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x ( 1st `  R ) y )  e.  k  /\  k  e.  C )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  y  e.  k )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
7663, 75sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
( i  e.  C  /\  y  e.  i
)  /\  i  C_  k ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
7776anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  i  C_  k )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
7860, 77jaodan 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  ( k  C_  i  \/  i  C_  k ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
7939, 78syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8079an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  /\  ( i  e.  C  /\  y  e.  i ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8180exp32 588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  ->  ( i  e.  C  ->  ( y  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C ) ) )
8281rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  ->  ( E. i  e.  C  y  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C ) )
8333, 82syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  ->  ( y  e. 
U. C  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C ) )
8483ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8532, 84syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  (
i  C_  j  \/  j  C_  i ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8685anasss 628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
87863adantr1 1114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8887an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  ->  A. y  e.  U. C
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
89 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2nd `  R )  =  ( 2nd `  R )
902, 89, 3idllmulcl 26645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  k  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) ) )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e.  k )
9190exp43 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e.  k ) ) ) )
9291com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( x  e.  k  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R
)  ->  ( z
( 2nd `  R
) x )  e.  k ) ) ) )
9392imp41 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  k  e.  ( Idl `  R
) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R
) )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e.  k )
9464, 93sylanl2 632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( z ( 2nd `  R ) x )  e.  k )
95 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
k  e.  C )
96 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  k  /\  k  e.  C )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C )
9794, 95, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C )
982, 89, 3idlrmulcl 26646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  k  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) ) )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e.  k )
9998exp43 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e.  k ) ) ) )
10099com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( x  e.  k  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R
)  ->  ( x
( 2nd `  R
) z )  e.  k ) ) ) )
101100imp41 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  k  e.  ( Idl `  R
) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R
) )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e.  k )
10264, 101sylanl2 632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( x ( 2nd `  R ) z )  e.  k )
103 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  k  /\  k  e.  C )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C )
104102, 95, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C )
10597, 104jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) )
106105ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  x  e.  k )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  k  e.  C )
)  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R
) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) )
107106an42s 800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R
) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) )
108107an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R
) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) )
1091083ad2antr2 1121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) )
110109an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) )
11188, 110jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  -> 
( A. y  e. 
U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) )
112111exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  ( k  e.  C  ->  ( x  e.  k  ->  ( A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) ) ) )
113112rexlimdv 2666 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  ( E. k  e.  C  x  e.  k  ->  ( A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) ) )
11424, 113syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  ( x  e. 
U. C  ->  ( A. y  e.  U. C
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) ) ) )
115114ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. x  e.  U. C ( A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) )
1162, 89, 3, 12isidl 26639 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U. C  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( U. C  C_ 
ran  ( 1st `  R
)  /\  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  U. C  /\  A. x  e.  U. C
( A. y  e. 
U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) ) ) )
117116adantr 451 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  ( U. C  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( U. C  C_ 
ran  ( 1st `  R
)  /\  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  U. C  /\  A. x  e.  U. C
( A. y  e. 
U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) ) ) )
11811, 23, 115, 117mpbir3and 1135 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  U. C  e.  ( Idl `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121  GIdcgi 20854   RingOpscrngo 21042   Idlcidl 26632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-idl 26635
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