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Theorem unidif0 4199
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
StepHypRef Expression
1 uniun 3862 . . . 4  |-  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u. 
U. { (/) } )
2 undif1 3542 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( A  u.  { (/) } )
3 uncom 3332 . . . . . 6  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
42, 3eqtr2i 2317 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  u.  A
)  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
54unieqi 3853 . . . 4  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )
6 0ex 4166 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
76unisn 3859 . . . . . 6  |-  U. { (/)
}  =  (/)
87uneq2i 3339 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )
9 un0 3492 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )  = 
U. ( A  \  { (/) } )
108, 9eqtr2i 2317 . . . 4  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/) } )
111, 5, 103eqtr4ri 2327 . . 3  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. ( {
(/) }  u.  A
)
12 uniun 3862 . . 3  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  ( U. { (/) }  u.  U. A )
137uneq1i 3338 . . 3  |-  ( U. { (/) }  u.  U. A )  =  (
(/)  u.  U. A )
1411, 12, 133eqtri 2320 . 2  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( (/)  u.  U. A )
15 uncom 3332 . 2  |-  ( (/)  u. 
U. A )  =  ( U. A  u.  (/) )
16 un0 3492 . 2  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
1714, 15, 163eqtri 2320 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    \ cdif 3162    u. cun 3163   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843
This theorem is referenced by:  infeq5i  7353  zornn0g  8148  basdif0  16707  tgdif0  16746  stoweidlem57  27909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844
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