MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi2 Unicode version

Theorem unifi2 7146
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 7145 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 7120). (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
unifi2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  ~<  om )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem unifi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7115 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 isfinite2 7115 . . . . 5  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
32ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  x  ~<  om  ->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
4 dfss3 3170 . . . 4  |-  ( A 
C_  Fin  <->  A. x  e.  A  x  e.  Fin )
53, 4sylibr 203 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  ~<  om  ->  A  C_  Fin )
6 unifi 7145 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
71, 5, 6syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  e.  Fin )
8 fin2inf 7120 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
98adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  om  e.  _V )
10 isfiniteg 7117 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( U. A  e.  Fin  <->  U. A  ~<  om ) )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  ( U. A  e.  Fin  <->  U. A  ~<  om ) )
127, 11mpbid 201 1  |-  ( ( A  ~<  om  /\  A. x  e.  A  x  ~<  om )  ->  U. A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   omcom 4656    ~< csdm 6862   Fincfn 6863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator