MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Unicode version

Theorem unifpw 7158
Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
2 uniss 3848 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  C_  ~P A  ->  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  U. ~P A
)
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
U. ~P A
4 unipw 4224 . . . . 5  |-  U. ~P A  =  A
53, 4sseqtri 3210 . . . 4  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  A
65sseli 3176 . . 3  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  A )
7 snelpwi 4220 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ~P A
)
8 snfi 6941 . . . . . . 7  |-  { a }  e.  Fin
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  Fin )
10 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( { a }  e.  ~P A  /\  { a }  e.  Fin ) )
117, 9, 10sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
12 elssuni 3855 . . . . 5  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  { a } 
C_  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  C_  U. ( ~P A  i^i  Fin )
)
14 snidg 3665 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  { a } )
1513, 14sseldd 3181 . . 3  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
166, 15impbii 180 . 2  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  <->  a  e.  A )
1716eqriv 2280 1  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  isacs5lem  14272  acsmapd  14281  acsmap2d  14282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6479  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator