MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Structured version   Unicode version

Theorem unifpw 7411
Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3563 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
21unissi 4040 . . . . 5  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
U. ~P A
3 unipw 4416 . . . . 5  |-  U. ~P A  =  A
42, 3sseqtri 3382 . . . 4  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  A
54sseli 3346 . . 3  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  A )
6 snelpwi 4411 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ~P A
)
7 snfi 7189 . . . . . . 7  |-  { a }  e.  Fin
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  Fin )
9 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( { a }  e.  ~P A  /\  { a }  e.  Fin ) )
106, 8, 9sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
11 elssuni 4045 . . . . 5  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  { a } 
C_  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  C_  U. ( ~P A  i^i  Fin )
)
13 snidg 3841 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  { a } )
1412, 13sseldd 3351 . . 3  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
155, 14impbii 182 . 2  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  <->  a  e.  A )
1615eqriv 2435 1  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   Fincfn 7111
This theorem is referenced by:  isacs5lem  14597  acsmapd  14606  acsmap2d  14607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-1o 6726  df-en 7112  df-fin 7115
  Copyright terms: Public domain W3C validator