MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Unicode version

Theorem unifpw 7203
Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3423 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
2 uniss 3885 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  C_  ~P A  ->  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  U. ~P A
)
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
U. ~P A
4 unipw 4261 . . . . 5  |-  U. ~P A  =  A
53, 4sseqtri 3244 . . . 4  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  A
65sseli 3210 . . 3  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  A )
7 snelpwi 4257 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ~P A
)
8 snfi 6984 . . . . . . 7  |-  { a }  e.  Fin
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  Fin )
10 elin 3392 . . . . . 6  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( { a }  e.  ~P A  /\  { a }  e.  Fin ) )
117, 9, 10sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
12 elssuni 3892 . . . . 5  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  { a } 
C_  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  C_  U. ( ~P A  i^i  Fin )
)
14 snidg 3699 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  { a } )
1513, 14sseldd 3215 . . 3  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
166, 15impbii 180 . 2  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  <->  a  e.  A )
1716eqriv 2313 1  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1633    e. wcel 1701    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   {csn 3674   U.cuni 3864   Fincfn 6906
This theorem is referenced by:  isacs5lem  14321  acsmapd  14330  acsmap2d  14331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-1o 6521  df-en 6907  df-fin 6910
  Copyright terms: Public domain W3C validator