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Theorem uniintsn 3899
Description: Two ways to express " A is a singleton." See also en1 6928, en1b 6929, card1 7601, and eusn 3703. (Contributed by NM, 2-Aug-2010.)
Assertion
Ref Expression
uniintsn  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem uniintsn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vn0 3462 . . . . . 6  |-  _V  =/=  (/)
2 inteq 3865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  |^| A  =  |^| (/) )
3 int0 3876 . . . . . . . . . . 11  |-  |^| (/)  =  _V
42, 3syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  |^| A  =  _V )
54adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  A  =  (/) )  ->  |^| A  =  _V )
6 unieq 3836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
7 uni0 3854 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
86, 7syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
9 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. A  =  |^| A  -> 
( U. A  =  (/) 
<-> 
|^| A  =  (/) ) )
108, 9syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. A  =  |^| A  -> 
( A  =  (/)  ->  |^| A  =  (/) ) )
1110imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  A  =  (/) )  ->  |^| A  =  (/) )
125, 11eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  A  =  (/) )  ->  _V  =  (/) )
1312ex 423 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  |^| A  -> 
( A  =  (/)  ->  _V  =  (/) ) )
1413necon3d 2484 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  |^| A  -> 
( _V  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
151, 14mpi 16 . . . . 5  |-  ( U. A  =  |^| A  ->  A  =/=  (/) )
16 n0 3464 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
1715, 16sylib 188 . . . 4  |-  ( U. A  =  |^| A  ->  E. x  x  e.  A )
18 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
19 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
2018, 19prss 3769 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  { x ,  y } 
C_  A )
21 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x ,  y } 
C_  A  ->  U. {
x ,  y } 
C_  U. A )
2221adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  U. { x ,  y }  C_  U. A )
23 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  U. A  = 
|^| A )
2422, 23sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  U. { x ,  y }  C_  |^| A )
25 intss 3883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x ,  y } 
C_  A  ->  |^| A  C_ 
|^| { x ,  y } )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  |^| A  C_  |^|
{ x ,  y } )
2724, 26sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  U. { x ,  y }  C_  |^|
{ x ,  y } )
2818, 19unipr 3841 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x ,  y }  =  ( x  u.  y )
2918, 19intpr 3895 . . . . . . . . . 10  |-  |^| { x ,  y }  =  ( x  i^i  y
)
3027, 28, 293sstr3g 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  ( x  u.  y )  C_  (
x  i^i  y )
)
31 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
32 ssun1 3338 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  y
)
3331, 32sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  u.  y
)
3430, 33jctir 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  ( (
x  u.  y ) 
C_  ( x  i^i  y )  /\  (
x  i^i  y )  C_  ( x  u.  y
) ) )
35 eqss 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  y )  =  ( x  i^i  y )  <->  ( (
x  u.  y ) 
C_  ( x  i^i  y )  /\  (
x  i^i  y )  C_  ( x  u.  y
) ) )
36 uneqin 3420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  y )  =  ( x  i^i  y )  <->  x  =  y )
3735, 36bitr3i 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  u.  y
)  C_  ( x  i^i  y )  /\  (
x  i^i  y )  C_  ( x  u.  y
) )  <->  x  =  y )
3834, 37sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  =  |^| A  /\  { x ,  y }  C_  A
)  ->  x  =  y )
3938ex 423 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  |^| A  -> 
( { x ,  y }  C_  A  ->  x  =  y ) )
4020, 39syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( U. A  =  |^| A  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y ) )
4140alrimivv 1618 . . . 4  |-  ( U. A  =  |^| A  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y ) )
4217, 41jca 518 . . 3  |-  ( U. A  =  |^| A  -> 
( E. x  x  e.  A  /\  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y ) ) )
43 euabsn 3699 . . . 4  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E. x { x  |  x  e.  A }  =  { x } )
44 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
4544eu4 2182 . . . 4  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  ( E. x  x  e.  A  /\  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y ) ) )
46 abid2 2400 . . . . . 6  |-  { x  |  x  e.  A }  =  A
4746eqeq1i 2290 . . . . 5  |-  ( { x  |  x  e.  A }  =  {
x }  <->  A  =  { x } )
4847exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. x { x  |  x  e.  A }  =  { x }  <->  E. x  A  =  { x } )
4943, 45, 483bitr3i 266 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y ) )  <->  E. x  A  =  { x } )
5042, 49sylib 188 . 2  |-  ( U. A  =  |^| A  ->  E. x  A  =  { x } )
5118unisn 3843 . . . 4  |-  U. {
x }  =  x
52 unieq 3836 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
53 inteq 3865 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  |^| A  =  |^| { x } )
5418intsn 3898 . . . . 5  |-  |^| { x }  =  x
5553, 54syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  |^| A  =  x )
5651, 52, 553eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  |^| A )
5756exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  U. A  =  |^| A )
5850, 57impbii 180 1  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   {cab 2269    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827   |^|cint 3862
This theorem is referenced by:  uniintab  3900  reusv6OLD  4545  reusv7OLD  4546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-int 3863
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