Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Unicode version

Theorem uniioombl 19473
 Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 19439.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1
uniioombl.2 Disj
uniioombl.3
Assertion
Ref Expression
uniioombl
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10994 . . . . 5
2 uniioombl.1 . . . . . 6
3 inss2 3554 . . . . . . 7
4 ressxr 9121 . . . . . . . 8
5 xpss12 4973 . . . . . . . 8
64, 4, 5mp2an 654 . . . . . . 7
73, 6sstri 3349 . . . . . 6
8 fss 5591 . . . . . 6
92, 7, 8sylancl 644 . . . . 5
10 fco 5592 . . . . 5
111, 9, 10sylancr 645 . . . 4
12 frn 5589 . . . 4
1311, 12syl 16 . . 3
14 sspwuni 4168 . . 3
1513, 14sylib 189 . 2
16 elpwi 3799 . . . . . . . . . . 11
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10
1817adantr 452 . . . . . . . . 9
19 simprr 734 . . . . . . . . . 10
2019adantr 452 . . . . . . . . 9
21 rphalfcl 10628 . . . . . . . . . . 11
2221rphalfcld 10652 . . . . . . . . . 10
2322adantl 453 . . . . . . . . 9
24 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
2524ovolgelb 19368 . . . . . . . . 9
2618, 20, 23, 25syl3anc 1184 . . . . . . . 8
272ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9
28 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 Disj
2928ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9 Disj
30 uniioombl.3 . . . . . . . . 9
31 eqid 2435 . . . . . . . . 9
3220adantr 452 . . . . . . . . 9
3321adantl 453 . . . . . . . . . . 11
3433adantr 452 . . . . . . . . . 10
3534rphalfcld 10652 . . . . . . . . 9
36 elmapi 7030 . . . . . . . . . 10
3736ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
38 simprrl 741 . . . . . . . . 9
39 simprrr 742 . . . . . . . . 9
4027, 29, 30, 31, 32, 35, 37, 38, 24, 39uniioombllem6 19472 . . . . . . . 8
4126, 40rexlimddv 2826 . . . . . . 7
42 rpcn 10612 . . . . . . . . . . . . 13
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
44 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . 13
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
46 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . 13
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4843, 45, 45, 47, 47divdiv1d 9813 . . . . . . . . . . 11
49 2t2e4 10119 . . . . . . . . . . . 12
5049oveq2i 6084 . . . . . . . . . . 11
5148, 50syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10
5251oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
53 4cn 10066 . . . . . . . . . . 11
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10
55 4nn 10127 . . . . . . . . . . . 12
5655nnne0i 10026 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
5843, 54, 57divcan2d 9784 . . . . . . . . 9
5952, 58eqtrd 2467 . . . . . . . 8
6059oveq2d 6089 . . . . . . 7
6141, 60breqtrd 4228 . . . . . 6
6261ralrimiva 2781 . . . . 5
63 inss1 3553 . . . . . . . . 9
6463a1i 11 . . . . . . . 8
65 ovolsscl 19374 . . . . . . . 8
6664, 17, 19, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7
67 difssd 3467 . . . . . . . 8
68 ovolsscl 19374 . . . . . . . 8
6967, 17, 19, 68syl3anc 1184 . . . . . . 7
7066, 69readdcld 9107 . . . . . 6
71 alrple 10784 . . . . . 6
7270, 19, 71syl2anc 643 . . . . 5
7362, 72mpbird 224 . . . 4
7473expr 599 . . 3
7574ralrimiva 2781 . 2
76 ismbl2 19415 . 2
7715, 75, 76sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   cdif 3309   cin 3311   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007  Disj wdisj 4174   class class class wbr 4204   cxp 4868   cdm 4870   crn 4871   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  csup 7437  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  c4 10043  crp 10604  cioo 10908   cseq 11315  cabs 12031  covol 19351  cvol 19352 This theorem is referenced by:  uniiccmbl  19474 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354
 Copyright terms: Public domain W3C validator