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Theorem uniioombl 18944
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 18910.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombl  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables  f 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10741 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 uniioombl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 inss2 3390 . . . . . . 7  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
4 ressxr 8876 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5 xpss12 4792 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
64, 4, 5mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
73, 6sstri 3188 . . . . . 6  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
8 fss 5397 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
92, 7, 8sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
10 fco 5398 . . . . 5  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
111, 9, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
12 frn 5395 . . . 4  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
14 sspwuni 3987 . . 3  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
1513, 14sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
16 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  z  C_  RR )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  C_  RR )
19 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
2019adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
21 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
22 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2423adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
2625ovolgelb 18839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
2718, 20, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
282ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
29 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ph )
30 uniioombl.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
32 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( (,)  o.  F )  =  U. ran  ( (,)  o.  F )
3420adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
3521adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3736, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
38 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3938ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
40 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  z  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  f ) )
41 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )
4228, 31, 32, 33, 34, 37, 39, 40, 25, 41uniioombllem6 18943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
4342expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) ) )
4443rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. f  e.  (
(  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) ) ) )
4527, 44mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
46 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  CC )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  CC )
48 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
50 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
5247, 49, 49, 51, 51divdiv1d 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
( 2  x.  2 ) ) )
53 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5453oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( r  /  4
)
5552, 54syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
4 ) )
5655oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 4  x.  ( r  /  4
) ) )
57 4cn 9820 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
5857a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  e.  CC )
59 4nn 9879 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
6059nnne0i 9780 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
6160a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  =/=  0 )
6247, 58, 61divcan2d 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( r  /  4 ) )  =  r )
6356, 62eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  r )
6463oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( vol * `  z
)  +  r ) )
6545, 64breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
6665ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
67 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) 
C_  z
6867a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
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69 ovolsscl 18845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7068, 17, 19, 69syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
71 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
\  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) 
C_  z
7271a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
73 ovolsscl 18845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
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)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7472, 17, 19, 73syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
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ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  e.  RR )
76 alrple 10533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
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) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
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o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. r  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) ) )
7775, 19, 76syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
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ph  /\  z  e.  ~P RR )  ->  (
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)  e.  dom  vol  <->  ( U. ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR  /\ 
A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
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) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
8215, 80, 81sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827  Disj wdisj 3993   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   RR+crp 10354   (,)cioo 10656    seq cseq 11046   abscabs 11719   vol
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This theorem is referenced by:  uniiccmbl  18945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825
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