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Theorem uniioombl 19473
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 19439.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombl  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables  f 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10994 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 uniioombl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3 inss2 3554 . . . . . . 7  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
4 ressxr 9121 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5 xpss12 4973 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
64, 4, 5mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
73, 6sstri 3349 . . . . . 6  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
8 fss 5591 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
92, 7, 8sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
10 fco 5592 . . . . 5  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
111, 9, 10sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
12 frn 5589 . . . 4  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
14 sspwuni 4168 . . 3  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
1513, 14sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
16 elpwi 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  z  C_  RR )
1817adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  C_  RR )
19 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
21 rphalfcl 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
2221rphalfcld 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
24 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
2524ovolgelb 19368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
2618, 20, 23, 25syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( z  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) ) )
272ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
2928ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
30 uniioombl.3 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
31 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( (,)  o.  F )  =  U. ran  ( (,)  o.  F )
3220adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
3321adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3433adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
3534rphalfcld 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
36 elmapi 7030 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3736ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
38 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  z  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  f ) )
39 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  ( ( r  /  2
)  /  2 ) ) )
4027, 29, 30, 31, 32, 35, 37, 38, 24, 39uniioombllem6 19472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  (
z  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
4126, 40rexlimddv 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )
42 rpcn 10612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  CC )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  CC )
44 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
46 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
4843, 45, 45, 47, 47divdiv1d 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
( 2  x.  2 ) ) )
49 2t2e4 10119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5049oveq2i 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( r  /  4
)
5148, 50syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( r  /  2
)  /  2 )  =  ( r  / 
4 ) )
5251oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 4  x.  ( r  /  4
) ) )
53 4cn 10066 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  e.  CC )
55 4nn 10127 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
5655nnne0i 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  4  =/=  0 )
5843, 54, 57divcan2d 9784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( r  /  4 ) )  =  r )
5952, 58eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  =  r )
6059oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  z )  +  ( 4  x.  ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( vol * `  z
)  +  r ) )
6141, 60breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
6261ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) )
63 inss1 3553 . . . . . . . . 9  |-  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) 
C_  z
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
65 ovolsscl 19374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
6664, 17, 19, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
67 difssd 3467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  C_  z )
68 ovolsscl 19374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z
)  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
6967, 17, 19, 68syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  e.  RR )
7066, 69readdcld 9107 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  e.  RR )
71 alrple 10784 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. r  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) ) )
7270, 19, 71syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
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( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  z )  +  r ) ) )
7362, 72mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )  +  ( vol
* `  ( z  \  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) )
7473expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P RR )  ->  (
( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
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7574ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
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) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
76 ismbl2 19415 . 2  |-  ( U. ran  ( (,)  o.  F
)  e.  dom  vol  <->  ( U. ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR  /\ 
A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) )  +  ( vol * `  ( z  \  U. ran  ( (,)  o.  F
) ) ) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
7715, 75, 76sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  e. 
dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007  Disj wdisj 4174   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   4c4 10043   RR+crp 10604   (,)cioo 10908    seq cseq 11315   abscabs 12031   vol
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This theorem is referenced by:  uniiccmbl  19474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354
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