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Theorem uniioombllem2 18938
Description: Lemma for uniioombl 18944. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombllem2.h  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
uniioombllem2.k  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, F    x, G, z    x, K, z    x, A, z   
x, C, z    x, H, z    x, J, z    ph, x, z    x, T, z
Allowed substitution hints:    S( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 eqid 2283 . . 3  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )
3 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
43a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
6 uniioombl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
8 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
9 uniioombl.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
10 uniioombl.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
11 uniioombl.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
12 uniioombl.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13 uniioombl.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
14 uniioombl.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
15 uniioombl.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15uniioombllem2a 18937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,) )
17 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) )
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) ) )
19 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
20 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `  J )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2112, 20sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2219, 21sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  ( RR  X.  RR ) )
23 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  J )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2524fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. ) )
26 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. )
2725, 26syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) )
28 ioossre 10712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  C_  RR
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  C_  RR )
3027, 29eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR )
3127fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) ) )
32 ovolfcl 18826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) ) )
3312, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J
) )  <_  ( 2nd `  ( G `  J ) ) ) )
34 ovolioo 18925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( 1st `  ( G `  J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3631, 35eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3733simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3833simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3937, 38resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 J ) )  -  ( 1st `  ( G `  J )
) )  e.  RR )
4036, 39eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )
41 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )  /\  ( (,) `  ( G `  J )
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4218, 30, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4342adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
44 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
4544ioorcl 18932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  /\  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4616, 43, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
47 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
4846, 47fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
49 uniioombllem2.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
5049a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
5144ioorf 18928 . . . . . . . . . . . 12  |-  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
)
5251a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
) )
5352feqmptd 5575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K  =  ( y  e.  ran  (,)  |->  ( K `  y
) ) )
54 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  ->  ( K `  y )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
5516, 50, 53, 54fmptco 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
5655feq1d 5379 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
5748, 56mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
58 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) )
5958ovolfsf 18831 . . . . . . 7  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6057, 59syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
61 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6260, 61sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
63 elrege0 10746 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6462, 63sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6564simpld 445 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  RR )
6664simprd 449 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
67 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  x ) )
6855fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) `
 z )  =  ( ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) `  z ) )
69 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )  e.  _V
7047fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
7169, 70mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
7268, 71sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
7372fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
7444ioorinv 18931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  ->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7516, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7673, 75eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7776ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
78 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( ( K  o.  H ) `  x ) )
7978fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
80 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
8180fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
8281ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
8379, 82eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  <->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
8483rspccva 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. z  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
8577, 84sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
8685sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  C_  ( (,) `  ( F `  x
) )  <->  ( ( (,) `  ( F `  x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  x ) ) ) )
8767, 86mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) ) )
8887ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. x  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  C_  ( (,) `  ( F `  x
) ) )
897adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
90 disjss2 3996 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) )  ->  (Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `
 x ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 x ) ) ) )
9188, 89, 90sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
9257, 91, 2uniioovol 18934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9375mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
94 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
95 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
9694, 94, 95mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9719, 96sstri 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9897, 46sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  ( RR*  X.  RR* )
)
99 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR )
101100feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,)  =  ( y  e.  (
RR*  X.  RR* )  |->  ( (,) `  y ) ) )
102 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )  ->  ( (,) `  y
)  =  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )
10398, 55, 101, 102fmptco 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) ) )
10493, 103, 503eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  H )
105104rneqd 4906 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ran  H )
106105unieqd 3838 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  U. ran  H
)
107 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
108107inex1 4155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  e.  _V
10949fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
_V )  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
110108, 109mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
111 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
112110, 111syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) ) )
113112iuneq2i 3923 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U_ z  e.  NN  (
( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
114 iunin2 3966 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
115113, 114eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
) )
11616, 49fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H : NN
--> ran  (,) )
117 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : NN --> ran  (,)  ->  H  Fn  NN )
118116, 117syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  Fn  NN )
119 fniunfv 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
121115, 120syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  U. ran  H )
1226adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
123 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
124122, 123sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
125124iuneq2dv 3926 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
126 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
12799, 126ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
128 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
129122, 97, 128sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( RR*  X.  RR* )
)
130 fnfco 5407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  F : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )  ->  ( (,)  o.  F )  Fn  NN )
131127, 129, 130sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F )  Fn  NN )
132 fniunfv 5773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
134133, 9syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  A )
135125, 134eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
)  =  A )
136135ineq2d 3370 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A ) )
137106, 121, 1363eqtr2d 2321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  A
) )
138137fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
13992, 138eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
140 inss1 3389 . . . . . . 7  |-  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )
141140a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )
142 ovolsscl 18845 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  J )
)  /\  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
)  e.  RR )
143141, 30, 40, 142syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) )  e.  RR )
144139, 143eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e.  RR )
14558, 2ovolsf 18832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
14657, 145syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
147 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN )
148146, 147syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  Fn  NN )
149 fnfvelrn 5662 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
150148, 149sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
151 frn 5395 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
152146, 151syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
153 icossxr 10734 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
154152, 153syl6ss 3191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR* )
155 supxrub 10643 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR* 
/\  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
156154, 155sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
157150, 156syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
158157ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
159 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
160159ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<-> 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
161160rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  x )
162144, 158, 161syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x )
1631, 2, 4, 5, 65, 66, 162isumsup2 12305 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
16458ovolfs2 18926 . . . . 5  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
16557, 164syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
166 coass 5191 . . . . 5  |-  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )
167104coeq2d 4846 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
*  o.  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
168166, 167syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
169165, 168eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( vol *  o.  H
) )
170169seqeq3d 11054 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( vol
*  o.  H ) ) )
171 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
172 pnfxr 10455 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
173 icossre 10730 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
174171, 172, 173mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
175152, 174syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR )
176 1nn 9757 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
177 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  NN )
178146, 177syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =  NN )
179176, 178syl5eleqr 2370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e. 
dom  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )
180 ne0i 3461 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/) )
181179, 180syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
182 dm0rn0 4895 . . . . . 6  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) )
183182necon3bii 2478 . . . . 5  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) )
184181, 183sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
185 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  -> 
( z  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  x
) )
186185ralrn 5668 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
187148, 186syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
188187rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
189162, 188mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )
190 supxrre 10646 . . . 4  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR  /\  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
191175, 184, 189, 190syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
192191, 139eqtr3d 2317 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
193163, 170, 1923brtr3d 4052 1  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658    seq cseq 11046   abscabs 11719    ~~> cli 11958   vol *covol 18822
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  18943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825
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