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Theorem uniioombllem2 19475
Description: Lemma for uniioombl 19481. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombllem2.h  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
uniioombllem2.k  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, F    x, G, z    x, K, z    x, A, z   
x, C, z    x, H, z    x, J, z    ph, x, z    x, T, z
Allowed substitution hints:    S( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10521 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 eqid 2436 . . 3  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )
3 1z 10311 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5 eqidd 2437 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
6 uniioombl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
8 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
9 uniioombl.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
10 uniioombl.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
11 uniioombl.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
12 uniioombl.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13 uniioombl.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
14 uniioombl.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
15 uniioombl.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15uniioombllem2a 19474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,) )
17 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) )
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) ) )
19 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
2012ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2119, 20sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  ( RR  X.  RR ) )
22 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  J )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2423fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. ) )
25 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. )
2624, 25syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) )
27 ioossre 10972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  C_  RR
2826, 27syl6eqss 3398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR )
2926fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) ) )
30 ovolfcl 19363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) ) )
3112, 30sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J
) )  <_  ( 2nd `  ( G `  J ) ) ) )
32 ovolioo 19462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( 1st `  ( G `  J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3429, 33eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3531simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3631simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3735, 36resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 J ) )  -  ( 1st `  ( G `  J )
) )  e.  RR )
3834, 37eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )
39 ovolsscl 19382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )  /\  ( (,) `  ( G `  J )
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4018, 28, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
42 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
4342ioorcl 19469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  /\  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4416, 41, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
45 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
4644, 45fmptd 5893 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
47 uniioombllem2.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
4942ioorf 19465 . . . . . . . . . . . 12  |-  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
) )
5150feqmptd 5779 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K  =  ( y  e.  ran  (,)  |->  ( K `  y
) ) )
52 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  ->  ( K `  y )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
5316, 48, 51, 52fmptco 5901 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
5453feq1d 5580 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
5546, 54mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
56 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) )
5756ovolfsf 19368 . . . . . . 7  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
5855, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
5958ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
60 elrege0 11007 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6159, 60sylib 189 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6261simpld 446 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  RR )
6361simprd 450 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
6453fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) `
 z )  =  ( ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) `  z ) )
65 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )  e.  _V
6645fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6765, 66mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6864, 67sylan9eq 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6968fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
7042ioorinv 19468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  ->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7116, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7269, 71eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7372ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
74 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( ( K  o.  H ) `  x ) )
7574fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
76 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
7776fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
7877ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7975, 78eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  <->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
8079rspccva 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
8173, 80sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
82 inss1 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  x ) )
8381, 82syl6eqss 3398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) ) )
8483ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. x  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  C_  ( (,) `  ( F `  x
) ) )
857adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
86 disjss2 4185 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) )  ->  (Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `
 x ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 x ) ) ) )
8784, 85, 86sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
8855, 87, 2uniioovol 19471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
8971mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
90 ressxr 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
91 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
9290, 90, 91mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9319, 92sstri 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9493, 44sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  ( RR*  X.  RR* )
)
95 ioof 11002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR )
9796feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,)  =  ( y  e.  (
RR*  X.  RR* )  |->  ( (,) `  y ) ) )
98 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )  ->  ( (,) `  y
)  =  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )
9994, 53, 97, 98fmptco 5901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) ) )
10089, 99, 483eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  H )
101100rneqd 5097 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ran  H )
102101unieqd 4026 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  U. ran  H
)
103 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
104103inex1 4344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  e.  _V
10547fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
_V )  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
106104, 105mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
107 incom 3533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
108106, 107syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) ) )
109108iuneq2i 4111 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U_ z  e.  NN  (
( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
110 iunin2 4155 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
111109, 110eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
) )
11216, 47fmptd 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H : NN
--> ran  (,) )
113 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : NN --> ran  (,)  ->  H  Fn  NN )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  Fn  NN )
115 fniunfv 5994 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
117111, 116syl5eqr 2482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  U. ran  H )
1186adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
119 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
120118, 119sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
121120iuneq2dv 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
122 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
12395, 122ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
124 fss 5599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
125118, 93, 124sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( RR*  X.  RR* )
)
126 fnfco 5609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  F : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )  ->  ( (,)  o.  F )  Fn  NN )
127123, 125, 126sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F )  Fn  NN )
128 fniunfv 5994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
130129, 9syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  A )
131121, 130eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
)  =  A )
132131ineq2d 3542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A ) )
133102, 117, 1323eqtr2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  A
) )
134133fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
13588, 134eqtr3d 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
136 inss1 3561 . . . . . . 7  |-  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )
138 ovolsscl 19382 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  J )
)  /\  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
)  e.  RR )
139137, 28, 38, 138syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) )  e.  RR )
140135, 139eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e.  RR )
14156, 2ovolsf 19369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
14255, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
143 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN )
144142, 143syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  Fn  NN )
145 fnfvelrn 5867 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
146144, 145sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
147 frn 5597 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
148142, 147syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
149 icossxr 10995 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
150148, 149syl6ss 3360 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR* )
151 supxrub 10903 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR* 
/\  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
152150, 151sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
153146, 152syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
154153ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
155 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
156155ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<-> 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
157156rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  x )
158140, 154, 157syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x )
1591, 2, 4, 5, 62, 63, 158isumsup2 12626 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
16056ovolfs2 19463 . . . . 5  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
16155, 160syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
162 coass 5388 . . . . 5  |-  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )
163100coeq2d 5035 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
*  o.  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
164162, 163syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
165161, 164eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( vol *  o.  H
) )
166165seqeq3d 11331 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( vol
*  o.  H ) ) )
167 0re 9091 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
168 pnfxr 10713 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
169 icossre 10991 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
170167, 168, 169mp2an 654 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
171148, 170syl6ss 3360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR )
172 1nn 10011 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
173 fdm 5595 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  NN )
174142, 173syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =  NN )
175172, 174syl5eleqr 2523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e. 
dom  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )
176 ne0i 3634 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/) )
177175, 176syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
178 dm0rn0 5086 . . . . . 6  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) )
179178necon3bii 2633 . . . . 5  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) )
180177, 179sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
181 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  -> 
( z  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  x
) )
182181ralrn 5873 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
183144, 182syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
184183rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
185158, 184mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )
186 supxrre 10906 . . . 4  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR  /\  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
187171, 180, 185, 186syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
188187, 135eqtr3d 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
189159, 166, 1883brtr3d 4241 1  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   ~Pcpw 3799   <.cop 3817   U.cuni 4015   U_ciun 4093  Disj wdisj 4182   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   ZZcz 10282   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,)cico 10918    seq cseq 11323   abscabs 12039    ~~> cli 12278   vol *covol 19359
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  19480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362
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