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Theorem uniioombllem2 18954
Description: Lemma for uniioombl 18960. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombllem2.h  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
uniioombllem2.k  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, F    x, G, z    x, K, z    x, A, z   
x, C, z    x, H, z    x, J, z    ph, x, z    x, T, z
Allowed substitution hints:    S( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 eqid 2296 . . 3  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )
3 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
43a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
6 uniioombl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
8 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
9 uniioombl.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
10 uniioombl.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
11 uniioombl.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
12 uniioombl.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13 uniioombl.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
14 uniioombl.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
15 uniioombl.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15uniioombllem2a 18953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,) )
17 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) )
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) ) )
19 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
20 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `  J )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2112, 20sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2219, 21sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  ( RR  X.  RR ) )
23 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  J )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2524fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. ) )
26 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. )
2725, 26syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) )
28 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  C_  RR
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  C_  RR )
3027, 29eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR )
3127fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) ) )
32 ovolfcl 18842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) ) )
3312, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J
) )  <_  ( 2nd `  ( G `  J ) ) ) )
34 ovolioo 18941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( 1st `  ( G `  J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3631, 35eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3733simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3833simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3937, 38resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 J ) )  -  ( 1st `  ( G `  J )
) )  e.  RR )
4036, 39eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )
41 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )  /\  ( (,) `  ( G `  J )
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4218, 30, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4342adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
44 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
4544ioorcl 18948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  /\  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4616, 43, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
47 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
4846, 47fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
49 uniioombllem2.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
5049a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
5144ioorf 18944 . . . . . . . . . . . 12  |-  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
)
5251a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
) )
5352feqmptd 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K  =  ( y  e.  ran  (,)  |->  ( K `  y
) ) )
54 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  ->  ( K `  y )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
5516, 50, 53, 54fmptco 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
5655feq1d 5395 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
5748, 56mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
58 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) )
5958ovolfsf 18847 . . . . . . 7  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
6057, 59syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
61 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6260, 61sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
63 elrege0 10762 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6462, 63sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6564simpld 445 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  RR )
6664simprd 449 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
67 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  x ) )
6855fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) `
 z )  =  ( ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) `  z ) )
69 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )  e.  _V
7047fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
7169, 70mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
7268, 71sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
7372fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
7444ioorinv 18947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  ->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7516, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7673, 75eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7776ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
78 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( ( K  o.  H ) `  x ) )
7978fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
80 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
8180fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
8281ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
8379, 82eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  <->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
8483rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. z  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
8577, 84sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
8685sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  C_  ( (,) `  ( F `  x
) )  <->  ( ( (,) `  ( F `  x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  x ) ) ) )
8767, 86mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) ) )
8887ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. x  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  C_  ( (,) `  ( F `  x
) ) )
897adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
90 disjss2 4012 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) )  ->  (Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `
 x ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 x ) ) ) )
9188, 89, 90sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
9257, 91, 2uniioovol 18950 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9375mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
94 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
95 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
9694, 94, 95mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9719, 96sstri 3201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9897, 46sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  ( RR*  X.  RR* )
)
99 ioof 10757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR )
101100feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,)  =  ( y  e.  (
RR*  X.  RR* )  |->  ( (,) `  y ) ) )
102 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )  ->  ( (,) `  y
)  =  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )
10398, 55, 101, 102fmptco 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) ) )
10493, 103, 503eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  H )
105104rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ran  H )
106105unieqd 3854 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  U. ran  H
)
107 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
108107inex1 4171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  e.  _V
10949fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
_V )  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
110108, 109mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
111 incom 3374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
112110, 111syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) ) )
113112iuneq2i 3939 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U_ z  e.  NN  (
( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
114 iunin2 3982 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
115113, 114eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
) )
11616, 49fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H : NN
--> ran  (,) )
117 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : NN --> ran  (,)  ->  H  Fn  NN )
118116, 117syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  Fn  NN )
119 fniunfv 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
121115, 120syl5eqr 2342 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  U. ran  H )
1226adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
123 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
124122, 123sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
125124iuneq2dv 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
126 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
12799, 126ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
128 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
129122, 97, 128sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( RR*  X.  RR* )
)
130 fnfco 5423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  F : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )  ->  ( (,)  o.  F )  Fn  NN )
131127, 129, 130sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F )  Fn  NN )
132 fniunfv 5789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
134133, 9syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  A )
135125, 134eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
)  =  A )
136135ineq2d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A ) )
137106, 121, 1363eqtr2d 2334 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  A
) )
138137fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
13992, 138eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
140 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )
141140a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )
142 ovolsscl 18861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  J )
)  /\  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
)  e.  RR )
143141, 30, 40, 142syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) )  e.  RR )
144139, 143eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e.  RR )
14558, 2ovolsf 18848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
14657, 145syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
147 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN )
148146, 147syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  Fn  NN )
149 fnfvelrn 5678 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
150148, 149sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
151 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
152146, 151syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
153 icossxr 10750 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
154152, 153syl6ss 3204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR* )
155 supxrub 10659 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR* 
/\  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
156154, 155sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
157150, 156syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
158157ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
159 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
160159ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<-> 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
161160rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  x )
162144, 158, 161syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x )
1631, 2, 4, 5, 65, 66, 162isumsup2 12321 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
16458ovolfs2 18942 . . . . 5  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
16557, 164syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
166 coass 5207 . . . . 5  |-  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )
167104coeq2d 4862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
*  o.  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
168166, 167syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
169165, 168eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( vol *  o.  H
) )
170169seqeq3d 11070 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( vol
*  o.  H ) ) )
171 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
172 pnfxr 10471 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
173 icossre 10746 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
174171, 172, 173mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
175152, 174syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR )
176 1nn 9773 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
177 fdm 5409 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  NN )
178146, 177syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =  NN )
179176, 178syl5eleqr 2383 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e. 
dom  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )
180 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/) )
181179, 180syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
182 dm0rn0 4911 . . . . . 6  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) )
183182necon3bii 2491 . . . . 5  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) )
184181, 183sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
185 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  -> 
( z  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  x
) )
186185ralrn 5684 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
187148, 186syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
188187rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
189162, 188mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )
190 supxrre 10662 . . . 4  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR  /\  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
191175, 184, 189, 190syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
192191, 139eqtr3d 2330 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
193163, 170, 1923brtr3d 4068 1  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   <.cop 3656   U.cuni 3843   U_ciun 3921  Disj wdisj 4009   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   ZZcz 10040   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974   vol *covol 18838
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  18959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841
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