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Theorem uniioombllem3 18940
Description: Lemma for uniioombl 18944. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
uniioombl.m2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
uniioombl.k  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, K    x, A    x, C    x, M    ph, x    x, T
Allowed substitution hints:    S( x)    E( x)

Proof of Theorem uniioombllem3
Dummy variables  j 
k  n  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . 5  |-  ( E  i^i  A )  C_  E
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  E )
3 uniioombl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
4 uniioombl.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
54uniiccdif 18933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  G
)  \  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )  =  0 ) )
65simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )
7 ovolficcss 18829 . . . . . . 7  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  G ) 
C_  RR )
84, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  G )  C_  RR )
96, 8sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR )
103, 9sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
11 uniioombl.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
12 ovolsscl 18845 . . . 4  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
132, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
14 difss 3303 . . . . 5  |-  ( E 
\  A )  C_  E
1514a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  E )
16 ovolsscl 18845 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
1715, 10, 11, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
18 inss1 3389 . . . . . 6  |-  ( K  i^i  A )  C_  K
1918a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  K )
20 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
21 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
22 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
23 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
24 uniioombl.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
25 uniioombl.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
26 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
27 uniioombl.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
28 uniioombl.m2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
29 uniioombl.k . . . . . . . 8  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
3020, 21, 22, 23, 11, 24, 4, 3, 25, 26, 27, 28, 29uniioombllem3a 18939 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( vol * `  K )  e.  RR ) )
3130simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
32 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
33 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  NN )
34 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
354, 33, 34syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3632, 35sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
37 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
3938fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
40 df-ov 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
4139, 40syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
42 ioossre 10712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
4342a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) )  C_  RR )
4441, 43eqsstrd 3212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
4544ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
46 iunss 3943 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) ) 
C_  RR  <->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
4745, 46sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
4831, 47eqsstrd 3212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  RR )
4930simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
50 ovolsscl 18845 . . . . 5  |-  ( ( ( K  i^i  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
5119, 48, 49, 50syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
5224rpred 10390 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5351, 52readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  C
)  e.  RR )
54 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( K 
\  A )  C_  K
5554a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  K )
56 ovolsscl 18845 . . . . 5  |-  ( ( ( K  \  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
5755, 48, 49, 56syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
5857, 52readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  C
)  e.  RR )
59 ssun2 3339 . . . . . . 7  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
60 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
61 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  RR*
62 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6361, 61, 62mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6432, 63sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
65 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
664, 64, 65sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
67 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
6860, 66, 67sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
69 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  G ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  G
)  Fn  NN )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
)  Fn  NN )
71 fnima 5362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  G )  Fn  NN  ->  (
( (,)  o.  G
) " NN )  =  ran  ( (,) 
o.  G ) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " NN )  =  ran  ( (,) 
o.  G ) )
73 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7427peano2nnd 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
7574, 73syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
76 uzsplit 10855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  1 )  =  ( ( 1 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7873, 77syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7927nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
80 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
81 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8279, 80, 81sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... M ) )
8483uneq1d 3328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8578, 84eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8685imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " NN )  =  ( ( (,)  o.  G ) "
( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
8772, 86eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  G )  =  ( ( (,)  o.  G
) " ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
88 imaundi 5093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8987, 88syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  G )  =  ( ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9089unieqd 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  = 
U. ( ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u.  ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
91 uniun 3846 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
9290, 91syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  =  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9329uneq1i 3325 . . . . . . . 8  |-  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
9492, 93syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  =  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
9559, 94syl5sseqr 3227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9620, 21, 22, 23, 11, 24, 4, 3, 25, 26uniioombllem1 18936 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
97 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  U. ran  ( (,)  o.  G ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
9825ovollb 18838 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  G
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
994, 97, 98sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
100 ovollecl 18842 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR  /\  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
1019, 96, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
102 ovolsscl 18845 . . . . . 6  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  e.  RR )
10395, 9, 101, 102syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
10451, 103readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
105 unss1 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  i^i  A ) 
C_  K  ->  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
10618, 105ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  i^i  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
107106, 94syl5sseqr 3227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )
108 ovolsscl 18845 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
109107, 9, 101, 108syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  e.  RR )
1103, 94sseqtrd 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  C_  ( K  u.  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
111 ssrin 3394 . . . . . . . 8  |-  ( E 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( E  i^i  A )  C_  (
( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  i^i  A ) )
112110, 111syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A ) )
113 indir 3417 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A )  =  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  i^i  A ) )
114 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  i^i  A )  C_  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )
115 unss2 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  i^i  A ) 
C_  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  i^i  A
) )  C_  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
116114, 115ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  i^i 
A ) )  C_  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
117113, 116eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A )  C_  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
118112, 117syl6ss 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
119107, 9sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )
120 ovolss 18844 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
121118, 119, 120syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
12219, 48sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  RR )
12395, 9sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  RR )
124 ovolun 18858 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  i^i  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
125122, 51, 123, 103, 124syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
12613, 109, 104, 121, 125letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
127 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
128 pnfxr 10455 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
129 icossre 10730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
130127, 128, 129mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
131 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
132131, 25ovolsf 18832 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
1334, 132syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
134 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  M  e.  NN )  ->  ( T `  M )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
135133, 27, 134syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T `  M
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
136130, 135sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  M
)  e.  RR )
13796, 136resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e.  RR )
138103rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR* )
139 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN )
140 nnaddcl 9768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( z  +  M
)  e.  NN )
141139, 27, 140syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  +  M )  e.  NN )
142 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
z  +  M )  e.  NN )  -> 
( G `  (
z  +  M ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1434, 142sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  +  M )  e.  NN )  ->  ( G `  ( z  +  M
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
144141, 143syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  NN )  ->  ( G `
 ( z  +  M ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
145 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) )
146144, 145fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
147 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
148 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
149147, 148ovolsf 18832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
150146, 149syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
151 frn 5395 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
152150, 151syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
153 icossxr 10734 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
154152, 153syl6ss 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* )
155 supxrcl 10633 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
156154, 155syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
157137rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e. 
RR* )
158 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ZZ
159158a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
16027nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
162 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
16379, 80, 162sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
164163fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  (
1  +  M ) ) )
165164eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  <->  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) ) )
166165biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
167 eluzsub 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
168159, 161, 166, 167syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
169168, 73syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  NN )
170 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
171170adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
172171zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  CC )
17379adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
174172, 173npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
x  -  M )  +  M )  =  x )
175174eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( ( x  -  M )  +  M
) )
176 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( x  -  M )  ->  (
z  +  M )  =  ( ( x  -  M )  +  M ) )
177176eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( x  -  M )  ->  (
x  =  ( z  +  M )  <->  x  =  ( ( x  -  M )  +  M
) ) )
178177rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  -  M
)  e.  NN  /\  x  =  ( (
x  -  M )  +  M ) )  ->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
179169, 175, 178syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
180 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
181 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )
182181elrnmpt 4926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  (
z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  <->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) ) )
183180, 182ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  <->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
184179, 183sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )
185184ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  ->  x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) ) )
186185ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )
187 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) )  ->  ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) ) )
188186, 187syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) ) )
189 rnco2 5180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  ( G  o.  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )  =  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )
190 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )
1914feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  NN  |->  ( G `
 w ) ) )
192 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( z  +  M )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( z  +  M
) ) )
193141, 190, 191, 192fmptco 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )
194193rneqd 4906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( G  o.  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )  =  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
195189, 194syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )  =  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
196188, 195sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
197 imass2 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) )  ->  ( (,) " ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  ( (,) " ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
198196, 197syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (,) " ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( (,) " ran  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )
199 imaco 5178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (,) " ( G
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
200 rnco2 5180 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )  =  ( (,) " ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )
201198, 199, 2003sstr4g 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )
202 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  ran  ( (,)  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )  ->  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )
203201, 202syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
204148ovollb 18838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )  ->  ( vol * `
 U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
205146, 203, 204syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
206 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  T 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
207133, 206syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,)  +oo ) )
208207, 153syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
209208adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  T  C_ 
RR* )
21025fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T `
 ( M  +  n ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  ( M  +  n
) )
21127nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
212211ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
213 fzdisj 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) )  =  (/) )
214212, 213syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) )  =  (/) )
215214adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n
) ) )  =  (/) )
216 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
217 nn0addge1 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  n ) )
218211, 216, 217syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  <_ 
( M  +  n
) )
21927adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
220219, 73syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
221 nnaddcl 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n
)  e.  NN )
22227, 221sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  NN )
223222nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  ZZ )
224 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( M  +  n )  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n ) )  <->  M  <_  ( M  +  n ) ) )
225220, 223, 224syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  <->  M  <_  ( M  +  n ) ) )
226218, 225mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )
227 fzsplit 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  ->  (
1 ... ( M  +  n ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ) )
228226, 227syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( M  +  n ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ) )
229 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( M  +  n ) )  e. 
Fin )
2304adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
231 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  ->  j  e.  NN )
232 ovolfcl 18826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
233230, 231, 232syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
234233simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
235233simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
236234, 235resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
237236recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
238215, 228, 229, 237fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) ) )
239131ovolfsval 18830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
240230, 231, 239syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
241222, 73syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
242240, 241, 237fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  ( M  +  n ) ) )
2434ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
24433adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  j  e.  NN )
245243, 244, 239syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
2464, 33, 232syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
247246simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
248246simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
249247, 248resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
250249adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
251250recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
252245, 220, 251fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  M )
)
25325fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T `
 M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  M )
254252, 253syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  ( T `  M ) )
255219nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
256255peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
2574ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
258219peano2nnd 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
259 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n
) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
26073uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
j  e.  NN )
261258, 259, 260syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  j  e.  NN )
262257, 261, 232syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
263262simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
264262simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
265263, 264resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
266265recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
267 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
268267fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  =  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
269267fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  =  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
270268, 269oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
271255, 256, 223, 266, 270fsumshftm 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( ( M  + 
1 )  -  M
) ... ( ( M  +  n )  -  M ) ) ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
272219nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
273 pncan2 9058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  M
)  =  1 )
274272, 80, 273sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  +  1 )  -  M )  =  1 )
275 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
276275adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
277272, 276pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  +  n )  -  M )  =  n )
278274, 277oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  -  M ) ... ( ( M  +  n )  -  M ) )  =  ( 1 ... n
) )
279278sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  1 )  -  M ) ... (
( M  +  n
)  -  M ) ) ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
280146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
281 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
282147ovolfsval 18830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) ) )
283280, 281, 282syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) ) )
284281adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
285 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  k  ->  (
z  +  M )  =  ( k  +  M ) )
286285fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  k  ->  ( G `  ( z  +  M ) )  =  ( G `  (
k  +  M ) ) )
287 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G `
 ( k  +  M ) )  e. 
_V
288286, 145, 287fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
289284, 288syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
290289fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) `
 k ) )  =  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
291289fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) `
 k ) )  =  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
292290, 291oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
293283, 292eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( G `
 ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
294 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
295294, 73syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2964ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
297 nnaddcl 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( k  +  M
)  e.  NN )
298281, 219, 297syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
k  +  M )  e.  NN )
299 ovolfcl 18826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
k  +  M )  e.  NN )  -> 
( ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  <_  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
300296, 298, 299syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  <_  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
301300simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR )
302300simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR )
303301, 302resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )  e.  RR )
304303recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )  e.  CC )
305293, 295, 304fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )
306271, 279, 3053eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )
307254, 306oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  + 
sum_ j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )  =  ( ( T `
 M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) ) )
308238, 242, 3073eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  ( M  +  n )
)  =  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) ) )
309210, 308syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 ( M  +  n ) )  =  ( ( T `  M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) ) )
310 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  T  Fn  NN )
311133, 310syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
312311adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  Fn  NN )
313 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  Fn  NN  /\  ( M  +  n
)  e.  NN )  ->  ( T `  ( M  +  n
) )  e.  ran  T )
314312, 222, 313syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 ( M  +  n ) )  e. 
ran  T )
315309, 314eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )  e.  ran  T
)
316 supxrub 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  (
( T `  M
)  +  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  e. 
ran  T )  -> 
( ( T `  M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
317209, 315, 316syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
318136adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 M )  e.  RR )
319 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
320150, 319sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
321130, 320sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  e.  RR )
32296adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
323318, 321, 322leaddsub2d 9374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( T `  M
)  +  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
324317, 323mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
325324ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
326 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN )
327150, 326syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN )
328 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n )  ->  ( x  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
329328ralrn 5668 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
330327, 329syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
331325, 330mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
332 supxrleub 10645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* 
/\  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
333154, 157, 332syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
334331, 333mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
335138, 156, 157, 205, 334xrletrd 10493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M )
) )
336136, 96, 52absdifltd 11916 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C  <->  ( ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
)  /\  ( T `  M )  <  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  C ) ) ) )
33728, 336mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
)  /\  ( T `  M )  <  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  C ) ) )
338337simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
) )
33996, 52, 136, 338ltsub23d 9377 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  < 
C )
340103, 137, 52, 335, 339lelttrd 8974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <  C )
341103, 52, 51, 340ltadd2dd 8975 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <  (
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C ) )
34213, 104, 53, 126, 341lelttrd 8974 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C ) )
34357, 103readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
344 unss1 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  \  A ) 
C_  K  ->  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
34554, 344ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
346345, 94syl5sseqr 3227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
347 ovolsscl 18845 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
348346, 9, 101, 347syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
349 ssdif 3311 . . . . . . . 8  |-  ( E 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( E  \  A )  C_  (
( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  \  A ) )
350110, 349syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A ) )
351 difundir 3422 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A )  =  ( ( K  \  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
\  A ) )
352 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
\  A )  C_  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )
353 unss2 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  \  A ) 
C_  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( K  \  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  \  A
) )  C_  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
354352, 353ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  \  A )  u.  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  \  A ) )  C_  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
355351, 354eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A )  C_  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
356350, 355syl6ss 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  ( ( K  \  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
357346, 9sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  RR )
358 ovolss 18844 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  ( ( K  \  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K 
\  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
359356, 357, 358syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K 
\  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
36055, 48sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  RR )
361 ovolun 18858 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  \  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )  /\  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( K  \  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) )
362360, 57, 123, 103, 361syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( vol * `  ( K  \  A ) )  +  ( vol
* `  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
36317, 348, 343, 359, 362letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K 
\  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
364103, 52, 57, 340ltadd2dd 8975 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <  (
( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )
36517, 343, 58, 363, 364lelttrd 8974 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <  ( ( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )
36613, 17, 53, 58, 342, 365lt2addd 9394 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C )  +  ( ( vol
* `  ( K  \  A ) )  +  C ) ) )
36751recnd 8861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  CC )
36852recnd 8861 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
36957recnd 8861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  CC )
370367, 368, 369, 368add4d 9035 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  A ) )  +  C )  +  ( ( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )  =  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
371366, 370breqtrd 4047 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   ...cfz 10782    seq cseq 11046   abscabs 11719   sum_csu 12158   vol
*covol 18822
This theorem is referenced by:  uniioombllem5  18942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825
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