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Theorem uniioombllem3 19477
Description: Lemma for uniioombl 19481. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
uniioombl.m2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
uniioombl.k  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, K    x, A    x, C    x, M    ph, x    x, T
Allowed substitution hints:    S( x)    E( x)

Proof of Theorem uniioombllem3
Dummy variables  j 
k  n  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3561 . . . . 5  |-  ( E  i^i  A )  C_  E
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  E )
3 uniioombl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
4 uniioombl.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
54uniiccdif 19470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  G
)  \  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )  =  0 ) )
65simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )
7 ovolficcss 19366 . . . . . . 7  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  G ) 
C_  RR )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  G )  C_  RR )
96, 8sstrd 3358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR )
103, 9sstrd 3358 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
11 uniioombl.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
12 ovolsscl 19382 . . . 4  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
132, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
14 difssd 3475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  E )
15 ovolsscl 19382 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
1614, 10, 11, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
17 inss1 3561 . . . . . 6  |-  ( K  i^i  A )  C_  K
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  K )
19 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
20 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
21 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
22 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
23 uniioombl.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
24 uniioombl.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
25 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
26 uniioombl.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
27 uniioombl.m2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
28 uniioombl.k . . . . . . . 8  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
2919, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25, 26, 27, 28uniioombllem3a 19476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( vol * `  K )  e.  RR ) )
3029simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
31 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
32 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  NN )
33 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
344, 32, 33syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3531, 34sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
36 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
3837fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
39 df-ov 6084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
4038, 39syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
41 ioossre 10972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
4240, 41syl6eqss 3398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
4342ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
44 iunss 4132 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) ) 
C_  RR  <->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
4543, 44sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
4630, 45eqsstrd 3382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  RR )
4729simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
48 ovolsscl 19382 . . . . 5  |-  ( ( ( K  i^i  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
4918, 46, 47, 48syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
5023rpred 10648 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5149, 50readdcld 9115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  C
)  e.  RR )
52 difssd 3475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  K )
53 ovolsscl 19382 . . . . 5  |-  ( ( ( K  \  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
5452, 46, 47, 53syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
5554, 50readdcld 9115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  C
)  e.  RR )
56 ssun2 3511 . . . . . . 7  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
57 ioof 11002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
58 ressxr 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  RR*
59 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6058, 58, 59mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6131, 60sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
62 fss 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
634, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
64 fco 5600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
6557, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
66 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  G ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  G
)  Fn  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
)  Fn  NN )
68 fnima 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  G )  Fn  NN  ->  (
( (,)  o.  G
) " NN )  =  ran  ( (,) 
o.  G ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " NN )  =  ran  ( (,) 
o.  G ) )
70 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7126peano2nnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
7271, 70syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
73 uzsplit 11118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  1 )  =  ( ( 1 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7570, 74syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7626nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
77 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
78 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7976, 77, 78sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8079oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... M ) )
8180uneq1d 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8275, 81eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8382imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " NN )  =  ( ( (,)  o.  G ) "
( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
8469, 83eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  G )  =  ( ( (,)  o.  G
) " ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
85 imaundi 5284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8684, 85syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  G )  =  ( ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
8786unieqd 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  = 
U. ( ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u.  ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
88 uniun 4034 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
8987, 88syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  =  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9028uneq1i 3497 . . . . . . . 8  |-  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
9189, 90syl6eqr 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  =  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
9256, 91syl5sseqr 3397 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9319, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25uniioombllem1 19473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
94 ssid 3367 . . . . . . . 8  |-  U. ran  ( (,)  o.  G ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
9524ovollb 19375 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  G
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
964, 94, 95sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
97 ovollecl 19379 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR  /\  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
989, 93, 96, 97syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
99 ovolsscl 19382 . . . . . 6  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  e.  RR )
10092, 9, 98, 99syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
10149, 100readdcld 9115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
102 unss1 3516 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  i^i  A ) 
C_  K  ->  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
10317, 102ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  i^i  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
104103, 91syl5sseqr 3397 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )
105 ovolsscl 19382 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
106104, 9, 98, 105syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  e.  RR )
1073, 91sseqtrd 3384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  C_  ( K  u.  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
108 ssrin 3566 . . . . . . . 8  |-  ( E 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( E  i^i  A )  C_  (
( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  i^i  A ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A ) )
110 indir 3589 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A )  =  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  i^i  A ) )
111 inss1 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  i^i  A )  C_  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )
112 unss2 3518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  i^i  A ) 
C_  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  i^i  A
) )  C_  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
113111, 112ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  i^i 
A ) )  C_  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
114110, 113eqsstri 3378 . . . . . . 7  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A )  C_  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
115109, 114syl6ss 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
116104, 9sstrd 3358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )
117 ovolss 19381 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
118115, 116, 117syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
11918, 46sstrd 3358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  RR )
12092, 9sstrd 3358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  RR )
121 ovolun 19395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  i^i  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
122119, 49, 120, 100, 121syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
12313, 106, 101, 118, 122letrd 9227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
124 0re 9091 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
125 pnfxr 10713 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
126 icossre 10991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
127124, 125, 126mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
128 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
129128, 24ovolsf 19369 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
1304, 129syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
131130, 26ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T `  M
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
132127, 131sseldi 3346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  M
)  e.  RR )
13393, 132resubcld 9465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e.  RR )
134100rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR* )
135 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN )
136 nnaddcl 10022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( z  +  M
)  e.  NN )
137135, 26, 136syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  +  M )  e.  NN )
1384ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  +  M )  e.  NN )  ->  ( G `  ( z  +  M
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
139137, 138syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  NN )  ->  ( G `
 ( z  +  M ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
140 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) )
141139, 140fmptd 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
142 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
143 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
144142, 143ovolsf 19369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
145141, 144syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
146 frn 5597 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
148 icossxr 10995 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
149147, 148syl6ss 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* )
150 supxrcl 10893 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
151149, 150syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
152133rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e. 
RR* )
153 1z 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ZZ
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
15526nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
156155adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
157 addcom 9252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
15876, 77, 157sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
159158fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  (
1  +  M ) ) )
160159eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  <->  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) ) )
161160biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
162 eluzsub 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
163154, 156, 161, 162syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
164163, 70syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  NN )
165 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
166165adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
167166zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  CC )
16876adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
169167, 168npcand 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
x  -  M )  +  M )  =  x )
170169eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( ( x  -  M )  +  M
) )
171 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( x  -  M )  ->  (
z  +  M )  =  ( ( x  -  M )  +  M ) )
172171eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( x  -  M )  ->  (
x  =  ( z  +  M )  <->  x  =  ( ( x  -  M )  +  M
) ) )
173172rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  -  M
)  e.  NN  /\  x  =  ( (
x  -  M )  +  M ) )  ->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
174164, 170, 173syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
175 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
176 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )
177176elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  (
z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  <->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) ) )
178175, 177ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  <->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
179174, 178sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )
180179ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  ->  x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) ) )
181180ssrdv 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )
182 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) )  ->  ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) ) )
183181, 182syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) ) )
184 rnco2 5377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  ( G  o.  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )  =  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )
185 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )
1864feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  NN  |->  ( G `
 w ) ) )
187 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( z  +  M )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( z  +  M
) ) )
188137, 185, 186, 187fmptco 5901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )
189188rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( G  o.  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )  =  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
190184, 189syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )  =  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
191183, 190sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
192 imass2 5240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) )  ->  ( (,) " ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  ( (,) " ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (,) " ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( (,) " ran  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )
194 imaco 5375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (,) " ( G
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
195 rnco2 5377 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )  =  ( (,) " ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )
196193, 194, 1953sstr4g 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )
197196unissd 4039 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
198143ovollb 19375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )  ->  ( vol * `
 U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
199141, 197, 198syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
200 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  T 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
201130, 200syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,)  +oo ) )
202201, 148syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
203202adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  T  C_ 
RR* )
20424fveq1i 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T `
 ( M  +  n ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  ( M  +  n
) )
20526nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
206205ltp1d 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
207 fzdisj 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) )  =  (/) )
208206, 207syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) )  =  (/) )
209208adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n
) ) )  =  (/) )
210 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
211 nn0addge1 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  n ) )
212205, 210, 211syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  <_ 
( M  +  n
) )
21326adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
214213, 70syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
215 nnaddcl 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n
)  e.  NN )
21626, 215sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  NN )
217216nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  ZZ )
218 elfz5 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( M  +  n )  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n ) )  <->  M  <_  ( M  +  n ) ) )
219214, 217, 218syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  <->  M  <_  ( M  +  n ) ) )
220212, 219mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )
221 fzsplit 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  ->  (
1 ... ( M  +  n ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ) )
222220, 221syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( M  +  n ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ) )
223 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( M  +  n ) )  e. 
Fin )
2244adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
225 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  ->  j  e.  NN )
226 ovolfcl 19363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
227224, 225, 226syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
228227simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
229227simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
230228, 229resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
231230recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
232209, 222, 223, 231fsumsplit 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) ) )
233128ovolfsval 19367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
234224, 225, 233syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
235216, 70syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
236234, 235, 231fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  ( M  +  n ) ) )
2374ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
23832adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  j  e.  NN )
239237, 238, 233syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
2404, 32, 226syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
241240simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
242240simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
243241, 242resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
244243adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
245244recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
246239, 214, 245fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  M )
)
24724fveq1i 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T `
 M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  M )
248246, 247syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  ( T `  M ) )
249213nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
250249peano2zd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
2514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
252213peano2nnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
253 elfzuz 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n
) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
25470uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
j  e.  NN )
255252, 253, 254syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  j  e.  NN )
256251, 255, 226syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
257256simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
258256simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
259257, 258resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
260259recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
261 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
262261fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  =  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
263261fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  =  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
264262, 263oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
265249, 250, 217, 260, 264fsumshftm 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( ( M  + 
1 )  -  M
) ... ( ( M  +  n )  -  M ) ) ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
266213nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
267 pncan2 9312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  M
)  =  1 )
268266, 77, 267sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  +  1 )  -  M )  =  1 )
269 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
270269adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
271266, 270pncan2d 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  +  n )  -  M )  =  n )
272268, 271oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  -  M ) ... ( ( M  +  n )  -  M ) )  =  ( 1 ... n
) )
273272sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  1 )  -  M ) ... (
( M  +  n
)  -  M ) ) ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
274141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
275 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
276142ovolfsval 19367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) ) )
277274, 275, 276syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) ) )
278275adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
279 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  k  ->  (
z  +  M )  =  ( k  +  M ) )
280279fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  k  ->  ( G `  ( z  +  M ) )  =  ( G `  (
k  +  M ) ) )
281 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G `
 ( k  +  M ) )  e. 
_V
282280, 140, 281fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
283278, 282syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
284283fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) `
 k ) )  =  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
285283fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) `
 k ) )  =  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
286284, 285oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
287277, 286eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( G `
 ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
288 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
289288, 70syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2904ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
291 nnaddcl 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( k  +  M
)  e.  NN )
292275, 213, 291syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
k  +  M )  e.  NN )
293 ovolfcl 19363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
k  +  M )  e.  NN )  -> 
( ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  <_  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
294290, 292, 293syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  <_  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
295294simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR )
296294simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR )
297295, 296resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )  e.  RR )
298297recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )  e.  CC )
299287, 289, 298fsumser 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )
300265, 273, 2993eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )
301248, 300oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  + 
sum_ j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )  =  ( ( T `
 M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) ) )
302232, 236, 3013eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  ( M  +  n )
)  =  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) ) )
303204, 302syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 ( M  +  n ) )  =  ( ( T `  M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) ) )
304 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  T  Fn  NN )
305130, 304syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
306305adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  Fn  NN )
307 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  Fn  NN  /\  ( M  +  n
)  e.  NN )  ->  ( T `  ( M  +  n
) )  e.  ran  T )
308306, 216, 307syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 ( M  +  n ) )  e. 
ran  T )
309303, 308eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )  e.  ran  T
)
310 supxrub 10903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  (
( T `  M
)  +  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  e. 
ran  T )  -> 
( ( T `  M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
311203, 309, 310syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
312132adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 M )  e.  RR )
313145ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
314127, 313sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  e.  RR )
31593adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
316312, 314, 315leaddsub2d 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( T `  M
)  +  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
317311, 316mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
318317ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
319 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN )
320145, 319syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN )
321 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n )  ->  ( x  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
322321ralrn 5873 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
323320, 322syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
324318, 323mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
325 supxrleub 10905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* 
/\  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
326149, 152, 325syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
327324, 326mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
328134, 151, 152, 199, 327xrletrd 10752 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M )
) )
329132, 93, 50absdifltd 12236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C  <->  ( ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
)  /\  ( T `  M )  <  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  C ) ) ) )
33027, 329mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
)  /\  ( T `  M )  <  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  C ) ) )
331330simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
) )
33293, 50, 132, 331ltsub23d 9631 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  < 
C )
333100, 133, 50, 328, 332lelttrd 9228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <  C )
334100, 50, 49, 333ltadd2dd 9229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <  (
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C ) )
33513, 101, 51, 123, 334lelttrd 9228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C ) )
33654, 100readdcld 9115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
337 difss 3474 . . . . . . . 8  |-  ( K 
\  A )  C_  K
338 unss1 3516 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  \  A ) 
C_  K  ->  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
339337, 338ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
340339, 91syl5sseqr 3397 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
341 ovolsscl 19382 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
342340, 9, 98, 341syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
343107ssdifd 3483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A ) )
344 difundir 3594 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A )  =  ( ( K  \  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
\  A ) )
345 difss 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
\  A )  C_  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )
346 unss2 3518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  \  A ) 
C_  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( K  \  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  \  A
) )  C_  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
347345, 346ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  \  A )  u.  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  \  A ) )  C_  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
348344, 347eqsstri 3378 . . . . . . 7  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A )  C_  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
349343, 348syl6ss 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  ( ( K  \  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
350340, 9sstrd 3358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  RR )
351 ovolss 19381 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  ( ( K  \  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K 
\  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
352349, 350, 351syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K 
\  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
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)  C_  RR )
354 ovolun 19395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  \  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )  /\  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( K  \  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) )
355353, 54, 120, 100, 354syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( vol * `  ( K  \  A ) )  +  ( vol
* `  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
35616, 342, 336, 352, 355letrd 9227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K 
\  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
357100, 50, 54, 333ltadd2dd 9229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <  (
( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )
35816, 336, 55, 356, 357lelttrd 9228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <  ( ( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )
35913, 16, 51, 55, 335, 358lt2addd 9648 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C )  +  ( ( vol
* `  ( K  \  A ) )  +  C ) ) )
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* `  ( K  i^i  A ) )  +  C )  +  ( ( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )  =  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
364359, 363breqtrd 4236 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   <.cop 3817   U.cuni 4015   U_ciun 4093  Disj wdisj 4182   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   ran crn 4879   "cima 4881    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,)cico 10918   [,]cicc 10919   ...cfz 11043    seq cseq 11323   abscabs 12039   sum_csu 12479   vol
*covol 19359
This theorem is referenced by:  uniioombllem5  19479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362
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