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Theorem uniioombllem4 18957
Description: Lemma for uniioombl 18960. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
uniioombl.m2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
uniioombl.k  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
uniioombl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
uniioombl.n2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
uniioombl.l  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
Distinct variable groups:    i, j, x, F    i, G, j, x    j, K, x    A, j, x    C, i, j, x    i, M, j, x    i, N, j    ph, i, j, x    T, i, j, x
Allowed substitution hints:    A( i)    S( x, i, j)    E( x, i, j)    K( i)    L( x, i, j)    N( x)

Proof of Theorem uniioombllem4
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . . 4  |-  ( K  i^i  A )  C_  K
21a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  K )
3 uniioombl.k . . . . . 6  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
4 imassrn 5041 . . . . . . 7  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  C_  ran  ( (,)  o.  G
)
5 uniss 3864 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  ran  ( (,)  o.  G )  ->  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
73, 6eqsstri 3221 . . . . 5  |-  K  C_  U.
ran  ( (,)  o.  G )
87a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9 uniioombl.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
109uniiccdif 18949 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  G
)  \  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )  =  0 ) )
1110simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )
12 ovolficcss 18845 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  G ) 
C_  RR )
139, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  G )  C_  RR )
1411, 13sstrd 3202 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR )
158, 14sstrd 3202 . . 3  |-  ( ph  ->  K  C_  RR )
16 uniioombl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
17 uniioombl.2 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
18 uniioombl.3 . . . . . 6  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
19 uniioombl.a . . . . . 6  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
20 uniioombl.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
21 uniioombl.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
22 uniioombl.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
23 uniioombl.t . . . . . 6  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
24 uniioombl.v . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
2516, 17, 18, 19, 20, 21, 9, 22, 23, 24uniioombllem1 18952 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
26 ssid 3210 . . . . . 6  |-  U. ran  ( (,)  o.  G ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
2723ovollb 18854 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  G
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
289, 26, 27sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
29 ovollecl 18858 . . . . 5  |-  ( ( U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR  /\  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
3014, 25, 28, 29syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
31 ovolsscl 18861 . . . 4  |-  ( ( K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
328, 14, 30, 31syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
33 ovolsscl 18861 . . 3  |-  ( ( ( K  i^i  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
342, 15, 32, 33syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
35 inss1 3402 . . . . 5  |-  ( K  i^i  L )  C_  K
3635a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  K )
37 ovolsscl 18861 . . . 4  |-  ( ( ( K  i^i  L
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
3836, 15, 32, 37syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
39 ssun2 3352 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
40 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
41 uniioombl.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4241peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
4342, 40syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
44 uzsplit 10871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  1 )  =  ( ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
4640, 45syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
4741nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
48 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
49 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
5047, 48, 49sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
5251uneq1d 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
5346, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
5453iuneq1d 3944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 i ) )  =  U_ i  e.  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
55 iunxun 3999 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) )  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
5654, 55syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 i ) )  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
57 ioof 10757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
58 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
59 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  RR*
60 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6159, 59, 60mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6258, 61sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
63 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
6416, 62, 63sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
65 fco 5414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
6657, 64, 65sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
67 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  F
)  Fn  NN )
68 fniunfv 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ i  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  i )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
70 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  i  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  i )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
7116, 70sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( (,)  o.  F ) `
 i )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
7271iuneq2dv 3942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `  i )
) )
7369, 72eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  = 
U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
7419, 73syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  =  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `  i )
) )
75 uniioombl.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
76 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  Fun  ( (,)  o.  F ) )
77 funiunfv 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( (,)  o.  F
)  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) 
o.  F ) `  i )  =  U. ( ( (,)  o.  F ) " (
1 ... N ) ) )
7866, 76, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) )
79 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  e.  NN )
8016, 79, 70syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  i )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
8180iuneq2dv 3942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
) )
8278, 81eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )  =  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
8375, 82syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  =  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
) )
8483uneq1d 3341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
8556, 74, 843eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
8685ineq2d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  =  ( K  i^i  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) ) )
87 indi 3428 . . . . . . . 8  |-  ( K  i^i  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )  =  ( ( K  i^i  L )  u.  ( K  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
8886, 87syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  =  ( ( K  i^i  L )  u.  ( K  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) ) )
89 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
909, 62, 89sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
91 fco 5414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
9257, 90, 91sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
93 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  G ) : NN --> ~P RR  ->  Fun  ( (,)  o.  G ) )
94 funiunfv 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( (,)  o.  G
)  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( (,) 
o.  G ) `  j )  =  U. ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) ) )
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( (,)  o.  G ) `  j
)  =  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) )
96 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  NN )
97 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  G
) `  j )  =  ( (,) `  ( G `  j )
) )
989, 96, 97syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,)  o.  G
) `  j )  =  ( (,) `  ( G `  j )
) )
9998iuneq2dv 3942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( (,)  o.  G ) `  j
)  =  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
10095, 99eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )  =  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) ) )
1013, 100syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
102101ineq2d 3383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  K )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) ) )
103 incom 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( K  i^i  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  K
)
104 iunin2 3982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
105 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) )
106105a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( (,) `  ( F `  i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
107106iuneq2i 3939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  = 
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) )
108 incom 3374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )
109104, 107, 1083eqtr4ri 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )
110109a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( U_ i  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )
111110iuneq2i 3939 . . . . . . . . . 10  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  = 
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )
112 iunin2 3982 . . . . . . . . . 10  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
113111, 112eqtr3i 2318 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
114102, 103, 1133eqtr4g 2353 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  = 
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
115114uneq2d 3342 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  u.  ( K  i^i  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) ) )  =  ( ( K  i^i  L
)  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
11688, 115eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  =  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
11739, 116syl5sseqr 3240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( K  i^i  A ) )
118117, 1syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K )
119 ovolsscl 18861 . . . 4  |-  ( (
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
120118, 15, 32, 119syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
12138, 120readdcld 8878 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  e.  RR )
12221rpred 10406 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
12338, 122readdcld 8878 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  C
)  e.  RR )
124116fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  =  ( vol
* `  ( ( K  i^i  L )  u. 
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
12536, 15sstrd 3202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  RR )
126118, 15sstrd 3202 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR )
127 ovolun 18874 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  i^i  L )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )  /\  ( U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
128125, 38, 126, 120, 127syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
129124, 128eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
130 fzfid 11051 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
131 iunss 3959 . . . . . . . 8  |-  ( U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  K  <->  A. j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  K
)
132118, 131sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K )
133132r19.21bi 2654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K )
13415adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  K  C_  RR )
13532adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
136 ovolsscl 18861 . . . . . 6  |-  ( (
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
137133, 134, 135, 136syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
138130, 137fsumrecl 12223 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
139133, 134sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR )
140139, 137jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U_ i  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
141140ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
142 ovolfiniun 18876 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  A. j  e.  ( 1 ... M ) (
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )
143130, 141, 142syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
144 uniioombl.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
145122, 144nndivred 9810 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  M
)  e.  RR )
146145adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( C  /  M )  e.  RR )
14783ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) ) )
148147adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) ) )
149105a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
150149iuneq2i 3939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  i ) ) )
151 iunin2 3982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  i ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
152150, 151eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
153148, 152syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  =  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
154 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
155 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15616, 79, 155syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15758, 156sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  ( RR  X.  RR ) )
158 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  i )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 i )  = 
<. ( 1st `  ( F `  i )
) ,  ( 2nd `  ( F `  i
) ) >. )
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  =  <. ( 1st `  ( F `  i )
) ,  ( 2nd `  ( F `  i
) ) >. )
160159fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `
 i ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  i )
) >. ) )
161 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1st `  ( F `
 i ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  i )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  i ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  i )
) >. )
162160, 161syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  i )
) (,) ( 2nd `  ( F `  i
) ) ) )
163 ioombl 18938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( F `
 i ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  i )
) )  e.  dom  vol
164162, 163syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  e. 
dom  vol )
165164adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  e. 
dom  vol )
166 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1679, 96, 166syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
16858, 167sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
169 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
170168, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
171170fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
172 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
173171, 172syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
174 ioombl 18938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  e.  dom  vol
175173, 174syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  e. 
dom  vol )
176175adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  e. 
dom  vol )
177 inmbl 18915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  e.  dom  vol  /\  ( (,) `  ( G `  j )
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
178165, 176, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol )
179178ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
180 finiunmbl 18917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
181154, 179, 180syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
182153, 181eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  e.  dom  vol )
183 inss2 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A )  C_  A
18416uniiccdif 18949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  F )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  F )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  F
)  \  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )  =  0 ) )
185184simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  F ) )
186 ovolficcss 18845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  F ) 
C_  RR )
18716, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  F )  C_  RR )
188185, 187sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
18919, 188syl5eqss 3235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
190189adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  C_  RR )
191183, 190syl5ss 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  RR )
192 inss1 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) )
193192a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  j )
) )
194 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
195194a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) )  C_  RR )
196173, 195eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
197173fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) ) )
198 ovolfcl 18842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
1999, 96, 198syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
200 ovolioo 18941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
201199, 200syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
202197, 201eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
203199simp2d 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
204199simp1d 967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
205203, 204resubcld 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
206202, 205eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
207 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  j )
)  /\  ( (,) `  ( G `  j
) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `
 j ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  e.  RR )
208193, 196, 206, 207syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  e.  RR )
209 mblsplit 18907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  e.  dom  vol  /\  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( ( vol
* `  ( (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )  +  ( vol * `  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) ) ) ) )
210182, 191, 208, 209syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( ( vol
* `  ( (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )  +  ( vol * `  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) ) ) ) )
211 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (,)  o.  F )
" ( 1 ... N ) )  C_  ran  ( (,)  o.  F
)
212 uniss 3864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  ran  ( (,)  o.  F )  ->  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )
213211, 212ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F )
214213, 75, 193sstr4i 3230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  C_  A
215 sslin 3408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L 
C_  A  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  C_  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)
216214, 215ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L )  C_  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
217216a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  C_  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)
218 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  C_  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  <->  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  =  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )
219217, 218sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  =  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )
220219fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )  =  ( vol * `  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )
221 indifdir 3438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  L )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( A  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) 
\  ( L  i^i  ( (,) `  ( G `
 j ) ) ) )
222 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
223 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
224222, 223difeq12i 3305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  \ 
( L  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) )
225221, 224eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  L )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) )
22685eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  A )
22783ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
228 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
229228fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  i  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
230229cbvdisjv 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
)  <-> Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
23117, 230sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `  i ) ) )
23279ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
233232a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  C_  NN )
234 uzss 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
23543, 234syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  1
) )
236235, 40syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN )
237 uzdisj 10872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  (/)
23851ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
239237, 238syl5reqr 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  (/) )
240 disjiun 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `  i ) )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  NN  /\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN  /\  (
( 1 ... N
)  i^i  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( U_ i  e.  (
1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )  =  (/) )
241231, 233, 236, 239, 240syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )  =  (/) )
242227, 241eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  (/) )
243 uneqdifeq 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  C_  A  /\  ( L  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )  =  (/) )  ->  ( ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )  =  A  <-> 
( A  \  L
)  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
244214, 242, 243sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  A  <->  ( A  \  L )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
245226, 244mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  \  L
)  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
246245adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( A  \  L )  = 
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
247246ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( A  \  L ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
248 incom 3374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  L )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( A  \  L ) )
249107, 104eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
250247, 248, 2493eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( A  \  L
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  = 
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
251225, 250syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )
252251fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) ) )  =  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )
253220, 252oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  A
)  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) ) )  +  ( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  A
)  \  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) ) ) )  =  ( ( vol * `  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  +  ( vol
* `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
254210, 253eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) ) )
255208, 146resubcld 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  e.  RR )
256 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  j ) )
257256a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) ) )
258196adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
259206adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
260 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
261257, 258, 259, 260syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
262154, 261fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
263 uniioombl.n2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
264263r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
265262, 208, 146absdifltd 11932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
)  <->  ( ( ( vol * `  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) )  +  ( C  /  M
) ) ) ) )
266264, 265mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) )  +  ( C  /  M
) ) ) )
267266simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
268255, 262, 267ltled 8983 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
269153fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  =  ( vol * `  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
270 mblvol 18905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
271178, 270syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )
272271, 261eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  e.  RR )
273178, 272jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
274273ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
275 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  i ) )
276275rgenw 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. i  e.  NN  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) 
C_  ( (,) `  ( F `  i )
)
277231adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  -> Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `  i )
) )
278 disjss2 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  NN  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 i ) )  ->  (Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `
 i ) )  -> Disj  i  e.  NN ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
279276, 277, 278mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  -> Disj  i  e.  NN ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )
280 disjss1 4015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  NN  ->  (Disj  i  e.  NN ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  -> Disj  i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
281232, 279, 280mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  -> Disj  i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )
282 volfiniun 18920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )  /\ Disj  i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  -> 
( vol `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
283154, 274, 281, 282syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
284 mblvol 18905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol ` 
U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  ( vol * `  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
285181, 284syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  ( vol
* `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) )
286271sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
287283, 285, 2863eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
288269, 287eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
289268, 288breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <_  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )
290288, 262eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  e.  RR )
291208, 146, 290lesubaddd 9385 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <_  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  <->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  <_  ( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  +  ( C  /  M ) ) ) )
292289, 291mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  <_  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( C  /  M
) ) )
293254, 292eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  +  ( vol
* `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  +  ( C  /  M ) ) )
294137, 146, 290leadd2d 9383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_ 
( C  /  M
)  <->  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( C  /  M
) ) ) )
295293, 294mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <_  ( C  /  M ) )
296130, 137, 146, 295fsumle 12273 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M ) )
297145recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  M
)  e.  CC )
298 fsumconst 12268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( C  /  M
)  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M
)  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( C  /  M
) ) )
299130, 297, 298syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M
)  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( C  /  M
) ) )
300 nnnn0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
301 hashfz1 11361 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
302144, 300, 3013syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
303302oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  ( C  /  M ) )  =  ( M  x.  ( C  /  M ) ) )
304122recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
305144nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
306144nnne0d 9806 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
307304, 305, 306divcan2d 9554 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( C  /  M ) )  =  C )
308299, 303, 3073eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M
)  =  C )
309296, 308breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  C )
310120, 138, 122, 143, 309letrd 8989 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  C )
311120, 122, 38, 310leadd2dd 9403 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
31234, 121, 123, 129, 311letrd 8989 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   <.cop 3656   U.cuni 3843   U_ciun 3921  Disj wdisj 4009   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   Fincfn 6879   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ...cfz 10798    seq cseq 11062   #chash 11353   abscabs 11735   sum_csu 12174   vol
*covol 18838   volcvol 18839
This theorem is referenced by:  uniioombllem5  18958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841
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