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Theorem uniioombllem4 19439
Description: Lemma for uniioombl 19442. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
uniioombl.m2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
uniioombl.k  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
uniioombl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
uniioombl.n2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
uniioombl.l  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
Distinct variable groups:    i, j, x, F    i, G, j, x    j, K, x    A, j, x    C, i, j, x    i, M, j, x    i, N, j    ph, i, j, x    T, i, j, x
Allowed substitution hints:    A( i)    S( x, i, j)    E( x, i, j)    K( i)    L( x, i, j)    N( x)

Proof of Theorem uniioombllem4
StepHypRef Expression
1 inss1 3529 . . . 4  |-  ( K  i^i  A )  C_  K
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  K )
3 uniioombl.k . . . . . 6  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
4 imassrn 5183 . . . . . . 7  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  C_  ran  ( (,)  o.  G
)
54unissi 4006 . . . . . 6  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
63, 5eqsstri 3346 . . . . 5  |-  K  C_  U.
ran  ( (,)  o.  G )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
8 uniioombl.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
98uniiccdif 19431 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  G
)  \  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )  =  0 ) )
109simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )
11 ovolficcss 19327 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  G ) 
C_  RR )
128, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  G )  C_  RR )
1310, 12sstrd 3326 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR )
147, 13sstrd 3326 . . 3  |-  ( ph  ->  K  C_  RR )
15 uniioombl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
16 uniioombl.2 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
17 uniioombl.3 . . . . . 6  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
18 uniioombl.a . . . . . 6  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
19 uniioombl.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
20 uniioombl.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
21 uniioombl.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
22 uniioombl.t . . . . . 6  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
23 uniioombl.v . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
2415, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22, 23uniioombllem1 19434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
25 ssid 3335 . . . . . 6  |-  U. ran  ( (,)  o.  G ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
2622ovollb 19336 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  G
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
278, 25, 26sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
28 ovollecl 19340 . . . . 5  |-  ( ( U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR  /\  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
2913, 24, 27, 28syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
30 ovolsscl 19343 . . . 4  |-  ( ( K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
317, 13, 29, 30syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
32 ovolsscl 19343 . . 3  |-  ( ( ( K  i^i  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
332, 14, 31, 32syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
34 inss1 3529 . . . . 5  |-  ( K  i^i  L )  C_  K
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  K )
36 ovolsscl 19343 . . . 4  |-  ( ( ( K  i^i  L
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
3735, 14, 31, 36syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
38 ssun2 3479 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
39 nnuz 10485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
40 uniioombl.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4140peano2nnd 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
4241, 39syl6eleq 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
43 uzsplit 11081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  1 )  =  ( ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
4539, 44syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
4640nncnd 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
47 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
48 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4946, 47, 48sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
5049oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
5150uneq1d 3468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
5245, 51eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
5352iuneq1d 4084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 i ) )  =  U_ i  e.  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
54 iunxun 4140 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  ( ( 1 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) )  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
5553, 54syl6eq 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 i ) )  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
56 ioof 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
57 inss2 3530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
58 ressxr 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  RR*
59 xpss12 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6058, 58, 59mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6157, 60sstri 3325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
62 fss 5566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
6315, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
64 fco 5567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
6556, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
66 ffn 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  F
)  Fn  NN )
67 fniunfv 5961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ i  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  i )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
6865, 66, 673syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
69 fvco3 5767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  i  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  i )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
7015, 69sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( (,)  o.  F ) `
 i )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
7170iuneq2dv 4082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `  i )
) )
7268, 71eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  = 
U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
7318, 72syl5eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  =  U_ i  e.  NN  ( (,) `  ( F `  i )
) )
74 uniioombl.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
75 ffun 5560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  Fun  ( (,)  o.  F ) )
76 funiunfv 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( (,)  o.  F
)  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) 
o.  F ) `  i )  =  U. ( ( (,)  o.  F ) " (
1 ... N ) ) )
7765, 75, 763syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) )
78 elfznn 11044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  e.  NN )
7915, 78, 69syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  i )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
8079iuneq2dv 4082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  i
)  =  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
) )
8177, 80eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )  =  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
8274, 81syl5eq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  =  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
) )
8382uneq1d 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
8455, 73, 833eqtr4d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
8584ineq2d 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  =  ( K  i^i  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) ) )
86 indi 3555 . . . . . . . 8  |-  ( K  i^i  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )  =  ( ( K  i^i  L )  u.  ( K  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
8785, 86syl6eq 2460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  =  ( ( K  i^i  L )  u.  ( K  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) ) )
88 fss 5566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
898, 61, 88sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
90 fco 5567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
9156, 89, 90sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
92 ffun 5560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  G ) : NN --> ~P RR  ->  Fun  ( (,)  o.  G ) )
93 funiunfv 5962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( (,)  o.  G
)  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( (,) 
o.  G ) `  j )  =  U. ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) ) )
9491, 92, 933syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( (,)  o.  G ) `  j
)  =  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) )
95 elfznn 11044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  NN )
96 fvco3 5767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  G
) `  j )  =  ( (,) `  ( G `  j )
) )
978, 95, 96syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,)  o.  G
) `  j )  =  ( (,) `  ( G `  j )
) )
9897iuneq2dv 4082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( (,)  o.  G ) `  j
)  =  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
9994, 98eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )  =  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) ) )
1003, 99syl5eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
101100ineq2d 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  K )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) ) )
102 incom 3501 . . . . . . . . 9  |-  ( K  i^i  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  K
)
103 iunin2 4123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
104 incom 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) )
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( (,) `  ( F `  i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
106105iuneq2i 4079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  = 
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) )
107 incom 3501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )
108103, 106, 1073eqtr4ri 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  ( U_ i  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )
110109iuneq2i 4079 . . . . . . . . . 10  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  = 
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )
111 iunin2 4123 . . . . . . . . . 10  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
112110, 111eqtr3i 2434 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
113101, 102, 1123eqtr4g 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  = 
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
114113uneq2d 3469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  L )  u.  ( K  i^i  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) ) )  =  ( ( K  i^i  L
)  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
11587, 114eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  =  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
11638, 115syl5sseqr 3365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( K  i^i  A ) )
117116, 1syl6ss 3328 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K )
118 ovolsscl 19343 . . . 4  |-  ( (
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
119117, 14, 31, 118syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
12037, 119readdcld 9079 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  e.  RR )
12120rpred 10612 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
12237, 121readdcld 9079 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  C
)  e.  RR )
123115fveq2d 5699 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  =  ( vol
* `  ( ( K  i^i  L )  u. 
U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
12435, 14sstrd 3326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  RR )
125117, 14sstrd 3326 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR )
126 ovolun 19356 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  i^i  L )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )  /\  ( U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
127124, 37, 125, 119, 126syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  L )  u.  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
128123, 127eqbrtrd 4200 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
129 fzfid 11275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
130 iunss 4100 . . . . . . . 8  |-  ( U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  K  <->  A. j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  K
)
131117, 130sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K )
132131r19.21bi 2772 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K )
13314adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  K  C_  RR )
13431adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
135 ovolsscl 19343 . . . . . 6  |-  ( (
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
136132, 133, 134, 135syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
137129, 136fsumrecl 12491 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
138132, 133sstrd 3326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR )
139138, 136jca 519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U_ i  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
140139ralrimiva 2757 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
141 ovolfiniun 19358 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  A. j  e.  ( 1 ... M ) (
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M )
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )
142129, 140, 141syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
143 uniioombl.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
144121, 143nndivred 10012 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  M
)  e.  RR )
145144adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( C  /  M )  e.  RR )
14682ineq2d 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) ) )
147146adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) ) )
148104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
149148iuneq2i 4079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  i ) ) )
150 iunin2 4123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  i ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
151149, 150eqtri 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
152147, 151syl6eqr 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  =  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
153 fzfid 11275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
154 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15515, 78, 154syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15657, 155sseldi 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  ( RR  X.  RR ) )
157 1st2nd2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  i )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 i )  = 
<. ( 1st `  ( F `  i )
) ,  ( 2nd `  ( F `  i
) ) >. )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  =  <. ( 1st `  ( F `  i )
) ,  ( 2nd `  ( F `  i
) ) >. )
159158fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `
 i ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  i )
) >. ) )
160 df-ov 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1st `  ( F `
 i ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  i )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  i ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  i )
) >. )
161159, 160syl6eqr 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  i )
) (,) ( 2nd `  ( F `  i
) ) ) )
162 ioombl 19420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( F `
 i ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  i )
) )  e.  dom  vol
163161, 162syl6eqel 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  e. 
dom  vol )
164163adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  e. 
dom  vol )
165 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1668, 95, 165syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
16757, 166sseldi 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
168 1st2nd2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
170169fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
171 df-ov 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
172170, 171syl6eqr 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
173 ioombl 19420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  e.  dom  vol
174172, 173syl6eqel 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  e. 
dom  vol )
175174adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  e. 
dom  vol )
176 inmbl 19397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  e.  dom  vol  /\  ( (,) `  ( G `  j )
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
177164, 175, 176syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol )
178177ralrimiva 2757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
179 finiunmbl 19399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
180153, 178, 179syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  dom  vol )
181152, 180eqeltrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  e.  dom  vol )
182 inss2 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A )  C_  A
18315uniiccdif 19431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  F )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  F )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  F
)  \  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )  =  0 ) )
184183simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  F ) )
185 ovolficcss 19327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  F ) 
C_  RR )
18615, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  F )  C_  RR )
187184, 186sstrd 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
18818, 187syl5eqss 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
189188adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  C_  RR )
190182, 189syl5ss 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  RR )
191 inss1 3529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  j )
) )
193 ioossre 10936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
194172, 193syl6eqss 3366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
195172fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) ) )
196 ovolfcl 19324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
1978, 95, 196syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
198 ovolioo 19423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
199197, 198syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
200195, 199eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
201197simp2d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
202197simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
203201, 202resubcld 9429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
204200, 203eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
205 ovolsscl 19343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  j )
)  /\  ( (,) `  ( G `  j
) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `
 j ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  e.  RR )
206192, 194, 204, 205syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  e.  RR )
207 mblsplit 19389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  e.  dom  vol  /\  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( ( vol
* `  ( (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )  +  ( vol * `  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) ) ) ) )
208181, 190, 206, 207syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( ( vol
* `  ( (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )  +  ( vol * `  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) ) ) ) )
209 imassrn 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,)  o.  F )
" ( 1 ... N ) )  C_  ran  ( (,)  o.  F
)
210209unissi 4006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F )
211210, 74, 183sstr4i 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  C_  A
212 sslin 3535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L 
C_  A  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  C_  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)
213211, 212mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  C_  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)
214 dfss1 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )  C_  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  <->  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  =  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )
215213, 214sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  =  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )
216215fveq2d 5699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )  =  ( vol * `  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )
217 indifdir 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  L )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( A  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) 
\  ( L  i^i  ( (,) `  ( G `
 j ) ) ) )
218 incom 3501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
219 incom 3501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
220218, 219difeq12i 3431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  \ 
( L  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) )
221217, 220eqtri 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  L )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) )
22284eqcomd 2417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  A )
22382ineq1d 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
224 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
225224fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  i  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
226225cbvdisjv 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
)  <-> Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
22716, 226sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `  i ) ) )
22878ssriv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  C_  NN )
230 uzss 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
23142, 230syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  1
) )
232231, 39syl6sseqr 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN )
233 uzdisj 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  (/)
23450ineq1d 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
235233, 234syl5reqr 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  (/) )
236 disjiun 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `  i ) )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  NN  /\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN  /\  (
( 1 ... N
)  i^i  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( U_ i  e.  (
1 ... N ) ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )  =  (/) )
237227, 229, 232, 235, 236syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )  =  (/) )
238223, 237eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  (/) )
239 uneqdifeq 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  C_  A  /\  ( L  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )  =  (/) )  ->  ( ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )  =  A  <-> 
( A  \  L
)  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
240211, 238, 239sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( L  u.  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) )  =  A  <->  ( A  \  L )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (,) `  ( F `  i
) ) ) )
241222, 240mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  \  L
)  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
242241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( A  \  L )  = 
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( (,) `  ( F `
 i ) ) )
243242ineq2d 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( A  \  L ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) ) )
244 incom 3501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  L )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  ( A  \  L ) )
245106, 103eqtri 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( (,) `  ( F `  i )
) )
246243, 244, 2453eqtr4g 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( A  \  L
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  = 
U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
247221, 246syl5eqr 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) )  =  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )
248247fveq2d 5699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  \  ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  L
) ) )  =  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )
249216, 248oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  A
)  i^i  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) ) )  +  ( vol * `  ( ( ( (,) `  ( G `  j
) )  i^i  A
)  \  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) ) ) )  =  ( ( vol * `  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  +  ( vol
* `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )
250208, 249eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) ) )
251206, 145resubcld 9429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  e.  RR )
252 inss2 3530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  j ) )
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) ) )
254194adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
255204adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
256 ovolsscl 19343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
257253, 254, 255, 256syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
258153, 257fsumrecl 12491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )
259 uniioombl.n2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
260259r19.21bi 2772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
261258, 206, 145absdifltd 12199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
)  <->  ( ( ( vol * `  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) )  +  ( C  /  M
) ) ) ) )
262260, 261mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) )  +  ( C  /  M
) ) ) )
263262simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
264251, 258, 263ltled 9185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
265152fveq2d 5699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  =  ( vol * `  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
266 mblvol 19387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
267177, 266syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )
268267, 257eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  e.  RR )
269177, 268jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
270269ralrimiva 2757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR ) )
271 inss1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  i ) )
272271rgenw 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. i  e.  NN  ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) 
C_  ( (,) `  ( F `  i )
)
273227adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  -> Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `  i )
) )
274 disjss2 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  NN  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 i ) )  ->  (Disj  i  e.  NN ( (,) `  ( F `
 i ) )  -> Disj  i  e.  NN ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
275272, 273, 274mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  -> Disj  i  e.  NN ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )
276 disjss1 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  NN  ->  (Disj  i  e.  NN ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  -> Disj  i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
277228, 275, 276mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  -> Disj  i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )
278 volfiniun 19402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  e.  RR )  /\ Disj  i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  -> 
( vol `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
279153, 270, 277, 278syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
280 mblvol 19387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol ` 
U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  ( vol * `  U_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
281180, 280syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  ( vol
* `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) )
282267sumeq2dv 12460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
283279, 281, 2823eqtr3d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) `  ( F `  i
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
284265, 283eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
285264, 284breqtrrd 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <_  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
) )
286284, 258eqeltrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  e.  RR )
287206, 145, 286lesubaddd 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  -  ( C  /  M ) )  <_  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  <->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
)  <_  ( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  +  ( C  /  M ) ) ) )
288285, 287mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  <_  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( C  /  M
) ) )
289250, 288eqbrtrrd 4202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  L )
)  +  ( vol
* `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  L ) )  +  ( C  /  M ) ) )
290136, 145, 286leadd2d 9585 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_ 
( C  /  M
)  <->  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
L ) )  +  ( C  /  M
) ) ) )
291289, 290mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  <_  ( C  /  M ) )
292129, 136, 145, 291fsumle 12541 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M ) )
293144recnd 9078 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  M
)  e.  CC )
294 fsumconst 12536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( C  /  M
)  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M
)  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( C  /  M
) ) )
295129, 293, 294syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M
)  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( C  /  M
) ) )
296 nnnn0 10192 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
297 hashfz1 11593 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
298143, 296, 2973syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
299298oveq1d 6063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  ( C  /  M ) )  =  ( M  x.  ( C  /  M ) ) )
300121recnd 9078 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
301143nncnd 9980 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
302143nnne0d 10008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
303300, 301, 302divcan2d 9756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( C  /  M ) )  =  C )
304295, 299, 3033eqtrd 2448 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( C  /  M
)  =  C )
305292, 304breqtrd 4204 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( vol * `  U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  C )
306119, 137, 121, 142, 305letrd 9191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M ) U_ i  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  <_  C )
307119, 121, 37, 306leadd2dd 9605 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  ( vol * `  U_ j  e.  ( 1 ... M
) U_ i  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
30833, 120, 122, 128, 307letrd 9191 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    \ cdif 3285    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   <.cop 3785   U.cuni 3983   U_ciun 4061  Disj wdisj 4150   class class class wbr 4180    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848    o. ccom 4849   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1stc1st 6314   2ndc2nd 6315   Fincfn 7076   supcsup 7411   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   (,)cioo 10880   [,]cicc 10883   ...cfz 11007    seq cseq 11286   #chash 11581   abscabs 12002   sum_csu 12442   vol
*covol 19320   volcvol 19321
This theorem is referenced by:  uniioombllem5  19440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-disj 4151  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-rest 13613  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-cmp 17412  df-ovol 19322  df-vol 19323
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