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Theorem uniioombllem5 18942
Description: Lemma for uniioombl 18944. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
uniioombl.m2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
uniioombl.k  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
uniioombl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
uniioombl.n2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
uniioombl.l  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, x, F    i, G, j, x    j, K, x    A, j, x    C, i, j, x    i, M, j, x    i, N, j    ph, i, j, x    T, i, j, x
Allowed substitution hints:    A( i)    S( x, i, j)    E( x, i, j)    K( i)    L( x, i, j)    N( x)

Proof of Theorem uniioombllem5
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . 5  |-  ( E  i^i  A )  C_  E
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  E )
3 uniioombl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
4 uniioombl.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
54uniiccdif 18933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  G
)  \  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )  =  0 ) )
65simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )
7 ovolficcss 18829 . . . . . . 7  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  G ) 
C_  RR )
84, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  G )  C_  RR )
96, 8sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR )
103, 9sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
11 uniioombl.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
12 ovolsscl 18845 . . . 4  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
132, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
14 difss 3303 . . . . 5  |-  ( E 
\  A )  C_  E
1514a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  E )
16 ovolsscl 18845 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
1715, 10, 11, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
1813, 17readdcld 8862 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  e.  RR )
19 inss1 3389 . . . . . 6  |-  ( K  i^i  A )  C_  K
2019a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  K )
21 uniioombl.k . . . . . . . 8  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
22 imassrn 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  C_  ran  ( (,)  o.  G
)
23 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  ran  ( (,)  o.  G )  ->  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
2521, 24eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  K  C_  U.
ran  ( (,)  o.  G )
2625a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
2726, 9sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  RR )
28 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
29 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
30 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
31 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
32 uniioombl.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
33 uniioombl.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
34 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
3528, 29, 30, 31, 11, 32, 4, 3, 33, 34uniioombllem1 18936 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
36 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  U. ran  ( (,)  o.  G ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
3733ovollb 18838 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  G
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
384, 36, 37sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
39 ovollecl 18842 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR  /\  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
409, 35, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
41 ovolsscl 18845 . . . . . 6  |-  ( ( K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
4226, 9, 40, 41syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
43 ovolsscl 18845 . . . . 5  |-  ( ( ( K  i^i  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
4420, 27, 42, 43syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
45 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( K 
\  A )  C_  K
4645a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  K )
47 ovolsscl 18845 . . . . 5  |-  ( ( ( K  \  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
4846, 27, 42, 47syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
4944, 48readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  e.  RR )
5032rpred 10390 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5150, 50readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  +  C
)  e.  RR )
5249, 51readdcld 8862 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) )  e.  RR )
53 4re 9819 . . . 4  |-  4  e.  RR
54 remulcl 8822 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 4  x.  C
)  e.  RR )
5553, 50, 54sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  C
)  e.  RR )
5611, 55readdcld 8862 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) )  e.  RR )
57 uniioombl.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
58 uniioombl.m2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
5928, 29, 30, 31, 11, 32, 4, 3, 33, 34, 57, 58, 21uniioombllem3 18940 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
6018, 52, 59ltled 8967 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( (
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
6111, 51readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) )  e.  RR )
6242, 50readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  e.  RR )
63 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  i^i  L )  C_  K
6463a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  K )
65 ovolsscl 18845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  i^i  L
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
6664, 27, 42, 65syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
6766, 50readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  C
)  e.  RR )
68 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( K 
\  L )  C_  K
6968a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  \  L
)  C_  K )
70 ovolsscl 18845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  \  L
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  \  L ) )  e.  RR )
7169, 27, 42, 70syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  L ) )  e.  RR )
72 uniioombl.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
73 uniioombl.n2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
74 uniioombl.l . . . . . . . 8  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
7528, 29, 30, 31, 11, 32, 4, 3, 33, 34, 57, 58, 21, 72, 73, 74uniioombllem4 18941 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
76 imassrn 5025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,)  o.  F )
" ( 1 ... N ) )  C_  ran  ( (,)  o.  F
)
77 uniss 3848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  ran  ( (,)  o.  F )  ->  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F )
7978, 74, 313sstr4i 3217 . . . . . . . . 9  |-  L  C_  A
80 sscon 3310 . . . . . . . . 9  |-  ( L 
C_  A  ->  ( K  \  A )  C_  ( K  \  L ) )
8179, 80mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  ( K  \  L ) )
8269, 27sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  \  L
)  C_  RR )
83 ovolss 18844 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  \  A
)  C_  ( K  \  L )  /\  ( K  \  L )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( K  \  A ) )  <_ 
( vol * `  ( K  \  L ) ) )
8481, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( K  \  L ) ) )
8544, 48, 67, 71, 75, 84le2addd 9390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  <_  ( (
( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C )  +  ( vol * `  ( K  \  L
) ) ) )
8666recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  CC )
8750recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8871recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  L ) )  e.  CC )
8986, 87, 88add32d 9034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  L ) )  +  C )  +  ( vol * `  ( K  \  L ) ) )  =  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) )  +  C ) )
90 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
91 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
92 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  RR*
93 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
9492, 92, 93mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9591, 94sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
96 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
9728, 95, 96sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
98 fco 5398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
9990, 97, 98sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
100 ffun 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  Fun  ( (,)  o.  F ) )
101 funiunfv 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( (,)  o.  F
)  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) 
o.  F ) `  n )  =  U. ( ( (,)  o.  F ) " (
1 ... N ) ) )
10299, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  =  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) )
103102, 74syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  =  L )
104 fzfid 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
105 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  NN )
106 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  =  ( (,) `  ( F `  n )
) )
10728, 105, 106syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  =  ( (,) `  ( F `  n )
) )
108 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10928, 105, 108syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  n )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
11091, 109sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  n )  e.  ( RR  X.  RR ) )
111 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 n )  = 
<. ( 1st `  ( F `  n )
) ,  ( 2nd `  ( F `  n
) ) >. )
112110, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  n )  =  <. ( 1st `  ( F `  n )
) ,  ( 2nd `  ( F `  n
) ) >. )
113112fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  n ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `
 n ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  n )
) >. ) )
114 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  n )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  n ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  n )
) >. )
115113, 114syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
) (,) ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) )
116107, 115eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  =  ( ( 1st `  ( F `  n
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
117 ioombl 18922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  n )
) )  e.  dom  vol
118116, 117syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  e.  dom  vol )
119118ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  e.  dom  vol )
120 finiunmbl 18901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F
) `  n )  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( (,)  o.  F
) `  n )  e.  dom  vol )
121104, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  e.  dom  vol )
122103, 121eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  dom  vol )
123 mblsplit 18891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  dom  vol  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  K )  =  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) ) )
124122, 27, 42, 123syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  =  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) ) )
125124oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  =  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) )  +  C ) )
12689, 125eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  L ) )  +  C )  +  ( vol * `  ( K  \  L ) ) )  =  ( ( vol * `  K
)  +  C ) )
12785, 126breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  K )  +  C ) )
12811, 50readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )
12933ovollb 18838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  K  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol * `  K )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
1304, 25, 129sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
13142, 35, 128, 130, 34letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  <_  (
( vol * `  E )  +  C
) )
13242, 128, 50, 131leadd1dd 9386 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  <_  ( (
( vol * `  E )  +  C
)  +  C ) )
13311recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  CC )
134133, 87, 87addassd 8857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  E )  +  C )  +  C
)  =  ( ( vol * `  E
)  +  ( C  +  C ) ) )
135132, 134breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) ) )
13649, 62, 61, 127, 135letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) ) )
13749, 61, 51, 136leadd1dd 9386 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) )  <_  ( (
( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) )  +  ( C  +  C ) ) )
13851recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  +  C
)  e.  CC )
139133, 138, 138addassd 8857 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  E )  +  ( C  +  C ) )  +  ( C  +  C
) )  =  ( ( vol * `  E )  +  ( ( C  +  C
)  +  ( C  +  C ) ) ) )
140 2t2e4 9871 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
141140oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  C )  =  ( 4  x.  C
)
142 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
143142a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
144143, 143, 87mulassd 8858 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
145872timesd 9954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  =  ( C  +  C ) )
146145oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( C  +  C ) ) )
1471382timesd 9954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  +  C )
)  =  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) )
148144, 146, 1473eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  C
)  =  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) )
149141, 148syl5eqr 2329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  C
)  =  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) )
150149oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) )  =  ( ( vol * `  E
)  +  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) ) )
151139, 150eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  E )  +  ( C  +  C ) )  +  ( C  +  C
) )  =  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
152137, 151breqtrd 4047 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
15318, 52, 56, 60, 152letrd 8973 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Fincfn 6863   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ...cfz 10782    seq cseq 11046   abscabs 11719   sum_csu 12158   vol
*covol 18822   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  18943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825
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