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Theorem uniioombllem5 19479
Description: Lemma for uniioombl 19481. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
uniioombl.m2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
uniioombl.k  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
uniioombl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
uniioombl.n2  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
uniioombl.l  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, x, F    i, G, j, x    j, K, x    A, j, x    C, i, j, x    i, M, j, x    i, N, j    ph, i, j, x    T, i, j, x
Allowed substitution hints:    A( i)    S( x, i, j)    E( x, i, j)    K( i)    L( x, i, j)    N( x)

Proof of Theorem uniioombllem5
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3561 . . . . 5  |-  ( E  i^i  A )  C_  E
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  E )
3 uniioombl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
4 uniioombl.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
54uniiccdif 19470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  G
)  \  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )  =  0 ) )
65simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )
7 ovolficcss 19366 . . . . . . 7  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  G ) 
C_  RR )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  G )  C_  RR )
96, 8sstrd 3358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR )
103, 9sstrd 3358 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
11 uniioombl.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
12 ovolsscl 19382 . . . 4  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
132, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
14 difssd 3475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  E )
15 ovolsscl 19382 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
1614, 10, 11, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
1713, 16readdcld 9115 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  e.  RR )
18 inss1 3561 . . . . . 6  |-  ( K  i^i  A )  C_  K
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  K )
20 uniioombl.k . . . . . . . 8  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
21 imassrn 5216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  C_  ran  ( (,)  o.  G
)
2221unissi 4038 . . . . . . . 8  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... M ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
2320, 22eqsstri 3378 . . . . . . 7  |-  K  C_  U.
ran  ( (,)  o.  G )
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
2524, 9sstrd 3358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  RR )
26 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
27 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
28 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
29 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
30 uniioombl.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
31 uniioombl.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
32 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
3326, 27, 28, 29, 11, 30, 4, 3, 31, 32uniioombllem1 19473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
34 ssid 3367 . . . . . . . 8  |-  U. ran  ( (,)  o.  G ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
3531ovollb 19375 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  G
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
364, 34, 35sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
37 ovollecl 19379 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR  /\  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
389, 33, 36, 37syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
39 ovolsscl 19382 . . . . . 6  |-  ( ( K  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
4024, 9, 38, 39syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
41 ovolsscl 19382 . . . . 5  |-  ( ( ( K  i^i  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
4219, 25, 40, 41syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
43 difssd 3475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  K )
44 ovolsscl 19382 . . . . 5  |-  ( ( ( K  \  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
4543, 25, 40, 44syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
4642, 45readdcld 9115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  e.  RR )
4730rpred 10648 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4847, 47readdcld 9115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  +  C
)  e.  RR )
4946, 48readdcld 9115 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) )  e.  RR )
50 4re 10073 . . . 4  |-  4  e.  RR
51 remulcl 9075 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 4  x.  C
)  e.  RR )
5250, 47, 51sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  C
)  e.  RR )
5311, 52readdcld 9115 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) )  e.  RR )
54 uniioombl.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
55 uniioombl.m2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
5626, 27, 28, 29, 11, 30, 4, 3, 31, 32, 54, 55, 20uniioombllem3 19477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
5717, 49, 56ltled 9221 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( (
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
5811, 48readdcld 9115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) )  e.  RR )
5940, 47readdcld 9115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  e.  RR )
60 inss1 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  i^i  L )  C_  K
6160a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  L
)  C_  K )
62 ovolsscl 19382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  i^i  L
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
6361, 25, 40, 62syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  RR )
6463, 47readdcld 9115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  L
) )  +  C
)  e.  RR )
65 difssd 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  \  L
)  C_  K )
66 ovolsscl 19382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  \  L
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  \  L ) )  e.  RR )
6765, 25, 40, 66syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  L ) )  e.  RR )
68 uniioombl.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
69 uniioombl.n2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  M
) )
70 uniioombl.l . . . . . . . 8  |-  L  = 
U. ( ( (,) 
o.  F ) "
( 1 ... N
) )
7126, 27, 28, 29, 11, 30, 4, 3, 31, 32, 54, 55, 20, 68, 69, 70uniioombllem4 19478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C ) )
72 imassrn 5216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,)  o.  F )
" ( 1 ... N ) )  C_  ran  ( (,)  o.  F
)
7372unissi 4038 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F )
7473, 70, 293sstr4i 3387 . . . . . . . . 9  |-  L  C_  A
75 sscon 3481 . . . . . . . . 9  |-  ( L 
C_  A  ->  ( K  \  A )  C_  ( K  \  L ) )
7674, 75mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  ( K  \  L ) )
7765, 25sstrd 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  \  L
)  C_  RR )
78 ovolss 19381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  \  A
)  C_  ( K  \  L )  /\  ( K  \  L )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( K  \  A ) )  <_ 
( vol * `  ( K  \  L ) ) )
7976, 77, 78syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( K  \  L ) ) )
8042, 45, 64, 67, 71, 79le2addd 9644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  <_  ( (
( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  C )  +  ( vol * `  ( K  \  L
) ) ) )
8163recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  e.  CC )
8247recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8367recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  L ) )  e.  CC )
8481, 82, 83add32d 9288 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  L ) )  +  C )  +  ( vol * `  ( K  \  L ) ) )  =  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) )  +  C ) )
85 ioof 11002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
86 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
87 ressxr 9129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  RR*
88 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
8987, 87, 88mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9086, 89sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
91 fss 5599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
9226, 90, 91sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
93 fco 5600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
9485, 92, 93sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
95 ffun 5593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  Fun  ( (,)  o.  F ) )
96 funiunfv 5995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( (,)  o.  F
)  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( (,) 
o.  F ) `  n )  =  U. ( ( (,)  o.  F ) " (
1 ... N ) ) )
9794, 95, 963syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  =  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... N ) ) )
9897, 70syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  =  L )
99 fzfid 11312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
100 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  NN )
101 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  =  ( (,) `  ( F `  n )
) )
10226, 100, 101syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  =  ( (,) `  ( F `  n )
) )
103 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10426, 100, 103syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  n )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10586, 104sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  n )  e.  ( RR  X.  RR ) )
106 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 n )  = 
<. ( 1st `  ( F `  n )
) ,  ( 2nd `  ( F `  n
) ) >. )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  n )  =  <. ( 1st `  ( F `  n )
) ,  ( 2nd `  ( F `  n
) ) >. )
108107fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  n ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `
 n ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  n )
) >. ) )
109 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  n )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  n ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  n )
) >. )
110108, 109syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( (,) `  ( F `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
) (,) ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) )
111102, 110eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  =  ( ( 1st `  ( F `  n
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
112 ioombl 19459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  n )
) )  e.  dom  vol
113111, 112syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  n )  e.  dom  vol )
114113ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  e.  dom  vol )
115 finiunmbl 19438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F
) `  n )  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( (,)  o.  F
) `  n )  e.  dom  vol )
11699, 114, 115syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( (,)  o.  F ) `  n
)  e.  dom  vol )
11798, 116eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  dom  vol )
118 mblsplit 19428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  dom  vol  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  K )  =  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) ) )
119117, 25, 40, 118syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  =  ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) ) )
120119oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  =  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  L ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  L ) ) )  +  C ) )
12184, 120eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  L ) )  +  C )  +  ( vol * `  ( K  \  L ) ) )  =  ( ( vol * `  K
)  +  C ) )
12280, 121breqtrd 4236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  K )  +  C ) )
12311, 47readdcld 9115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  C
)  e.  RR )
12431ovollb 19375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  K  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol * `  K )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
1254, 23, 124sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
12640, 33, 123, 125, 32letrd 9227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  <_  (
( vol * `  E )  +  C
) )
12740, 123, 47, 126leadd1dd 9640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  <_  ( (
( vol * `  E )  +  C
)  +  C ) )
12811recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  CC )
129128, 82, 82addassd 9110 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  E )  +  C )  +  C
)  =  ( ( vol * `  E
)  +  ( C  +  C ) ) )
130127, 129breqtrd 4236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  K )  +  C
)  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) ) )
13146, 59, 58, 122, 130letrd 9227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) ) )
13246, 58, 48, 131leadd1dd 9640 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) )  <_  ( (
( vol * `  E )  +  ( C  +  C ) )  +  ( C  +  C ) ) )
13348recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  +  C
)  e.  CC )
134128, 133, 133addassd 9110 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  E )  +  ( C  +  C ) )  +  ( C  +  C
) )  =  ( ( vol * `  E )  +  ( ( C  +  C
)  +  ( C  +  C ) ) ) )
135 2t2e4 10127 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
136135oveq1i 6091 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  C )  =  ( 4  x.  C
)
137 2cn 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
138137a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
139138, 138, 82mulassd 9111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
140822timesd 10210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  =  ( C  +  C ) )
141140oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( C  +  C ) ) )
1421332timesd 10210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C  +  C )
)  =  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) )
143139, 141, 1423eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  C
)  =  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) )
144136, 143syl5eqr 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  C
)  =  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) )
145144oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) )  =  ( ( vol * `  E
)  +  ( ( C  +  C )  +  ( C  +  C ) ) ) )
146134, 145eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  E )  +  ( C  +  C ) )  +  ( C  +  C
) )  =  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
147132, 146breqtrd 4236 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
14817, 49, 53, 57, 147letrd 9227 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   <.cop 3817   U.cuni 4015   U_ciun 4093  Disj wdisj 4182   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881    o. ccom 4882   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   Fincfn 7109   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   4c4 10051   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   ...cfz 11043    seq cseq 11323   abscabs 12039   sum_csu 12479   vol
*covol 19359   volcvol 19360
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  19480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362
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