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Theorem uniioombllem6 19480
Description: Lemma for uniioombl 19481. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, A    x, C    ph, x    x, T
Allowed substitution hints:    S( x)    E( x)

Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables  a 
i  j  k  n  y  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10521 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 uniioombl.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
5 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( T `
 m )  =  ( T `  m
) )
6 uniioombl.t . . . . . 6  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
7 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )
)
8 uniioombl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
9 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
109ovolfsf 19368 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  G ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
118, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
1211ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
13 elrege0 11007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a
) ) )
1412, 13sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  a
) ) )
1514simpld 446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  e.  RR )
1614simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  a
) )
17 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
18 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
19 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
20 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
21 uniioombl.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
22 uniioombl.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
23 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
2417, 18, 19, 20, 21, 4, 8, 22, 6, 23uniioombllem1 19473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
259, 6ovolsf 19369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
268, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
27 frn 5597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  T 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,)  +oo ) )
29 icossxr 10995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3028, 29syl6ss 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
31 supxrub 10903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  x  e.  ran  T )  ->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
3230, 31sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  T )  ->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
3332ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
34 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  T  Fn  NN )
3526, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
36 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( T `  m )  ->  (
x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <-> 
( T `  m
)  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
3736ralrn 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( T  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
) )
3835, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
3933, 38mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
40 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( T `
 m )  <_  x 
<->  ( T `  m
)  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
4140ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
) )
4241rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x )
4324, 39, 42syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x )
441, 6, 3, 7, 15, 16, 43isumsup2 12626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
45 0re 9091 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
46 pnfxr 10713 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
47 icossre 10991 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
4845, 46, 47mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
4928, 48syl6ss 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR )
50 1nn 10011 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
51 fdm 5595 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  T  =  NN )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  T  =  NN )
5350, 52syl5eleqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  T
)
54 ne0i 3634 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  dom  T  ->  dom  T  =/=  (/) )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  T  =/=  (/) )
56 dm0rn0 5086 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
T  =  (/)  <->  ran  T  =  (/) )
5756necon3bii 2633 . . . . . . 7  |-  ( dom 
T  =/=  (/)  <->  ran  T  =/=  (/) )
5855, 57sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  =/=  (/) )
59 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( x  <_ 
y  <->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
6059ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. x  e.  ran  T  x  <_ 
y  <->  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
6160rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_  y )
6224, 33, 61syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_  y )
63 supxrre 10906 . . . . . 6  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  ) )
6449, 58, 62, 63syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
6544, 64breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
661, 3, 4, 5, 65climi2 12305 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C )
671r19.2uz 12155 . . 3  |-  ( E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C  ->  E. m  e.  NN  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
6866, 67syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
692a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
704ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  C  e.  RR+ )
71 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  NN )
7271nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR+ )
7370, 72rpdivcld 10665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( C  /  m )  e.  RR+ )
74 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
7574inex1 4344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  _V
7675rgenw 2773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. z  e.  NN  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  _V
77 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
7877fnmpt 5571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  NN  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
_V  ->  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  Fn  NN )
7976, 78mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  Fn  NN )
80 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
81 fvco2 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  Fn  NN  /\  i  e.  NN )  ->  (
( vol *  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol * `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) `  i ) ) )
8279, 80, 81syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( vol *  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol * `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) `  i ) ) )
8380adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  i  e.  NN )
84 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  i  ->  ( F `  z )  =  ( F `  i ) )
8584fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  i  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
8685ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  i  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
87 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,) `  ( F `  i
) )  e.  _V
8887inex1 4344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  _V
8986, 77, 88fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
9083, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
9190fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol * `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
9282, 91eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( vol *  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
93 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9493, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
95 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  j ) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) ) )
97 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
99 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... m )  ->  j  e.  NN )
100 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10198, 99, 100syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10297, 101sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
103 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
105104fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
106 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
107105, 106syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
108 ioossre 10972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
109107, 108syl6eqss 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
110109ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
111107fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) ) )
112 ovolfcl 19363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
11398, 99, 112syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
114 ovolioo 19462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
116111, 115eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
117113simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
118113simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
119117, 118resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
120116, 119eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
121120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
122 ovolsscl 19382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
12396, 110, 121, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
124123recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  CC )
12592, 94, 124fsumser 12524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) ) `  n
) )
126125eqcomd 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( vol *  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
127 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  k  ->  ( F `  z )  =  ( F `  k ) )
128127fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  k  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  k )
) )
129128ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  k  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  k )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
130129cbvmptv 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  k )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
131 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
z  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
132 supeq1 7450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  sup ( z ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( x ,  RR* ,  `'  <  ) )
133 supeq1 7450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  sup ( z ,  RR* ,  <  )  =  sup ( x ,  RR* ,  <  ) )
134132, 133opeq12d 3992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>.  =  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. )
135131, 134ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>. )  =  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( x , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( x ,  RR* ,  <  ) >. ) )
136135cbvmptv 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  (,)  |->  if ( z  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>. ) )  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
13717, 18, 19, 20, 21, 4, 8, 22, 6, 23, 130, 136uniioombllem2 19475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
13899, 137sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  seq  1 (  +  , 
( vol *  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
139138adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  seq  1 (  +  , 
( vol *  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
1401, 69, 73, 126, 139climi2 12305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
1411rexuz3 12152 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
1422, 141ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
143140, 142sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
144143ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
145 fzfi 11311 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
146 rexfiuz 12151 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... m )  e.  Fin  ->  ( E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
147145, 146ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
148144, 147sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
1491rexuz3 12152 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
1502, 149ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
151148, 150sylibr 204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
1521r19.2uz 12155 . . . 4  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  ->  E. n  e.  NN  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
153151, 152syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. n  e.  NN  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
15417adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15518adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `
 x ) ) )
15621adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
1574adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
1588adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15922adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
16023adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
161 simprll 739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  m  e.  NN )
162 simprlr 740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
163 eqid 2436 . . . . 5  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... m ) )  =  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... m ) )
164 simprrl 741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  n  e.  NN )
165 simprrr 742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
166 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  z  ->  ( F `  i )  =  ( F `  z ) )
167166fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  z  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
168167ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  z  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
169168fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  z  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
170169cbvsumv 12490 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
171 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
172171fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  ( G `  k )
) )
173172ineq2d 3542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )
174173fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
175174sumeq2sdv 12498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  sum_ z  e.  ( 1 ... n
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
176170, 175syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
177172ineq1d 3541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  =  ( ( (,) `  ( G `  k
) )  i^i  A
) )
178177fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) )
179176, 178oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) )  =  (
sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )
180179fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  =  ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) ) )
181180breq1d 4222 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
182181cbvralv 2932 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. k  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
183165, 182sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
184 eqid 2436 . . . . 5  |-  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... n ) )  =  U. ( ( (,)  o.  F )
" ( 1 ... n ) )
185154, 155, 19, 20, 156, 157, 158, 159, 6, 160, 161, 162, 163, 164, 183, 184uniioombllem5 19479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( ( vol
* `  ( E  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  (
( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
186185anassrs 630 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol * `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
187153, 186rexlimddv 2834 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  ( ( vol
* `  ( E  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  (
( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
18868, 187rexlimddv 2834 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol * `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   <.cop 3817   U.cuni 4015  Disj wdisj 4182   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   Fincfn 7109   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   4c4 10051   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,)cico 10918   ...cfz 11043    seq cseq 11323   abscabs 12039    ~~> cli 12278   sum_csu 12479   vol *covol 19359
This theorem is referenced by:  uniioombl  19481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362
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