Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioovol Structured version   Unicode version

Theorem uniioovol 19471
 Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 19448.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1
uniioombl.2 Disj
uniioombl.3
Assertion
Ref Expression
uniioovol
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem uniioovol
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniioombl.1 . . 3
2 ssid 3367 . . 3
3 uniioombl.3 . . . 4
43ovollb 19375 . . 3
51, 2, 4sylancl 644 . 2
61adantr 452 . . . . . . . . . . 11
7 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11
8 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
98ovolfsval 19367 . . . . . . . . . . 11
106, 7, 9syl2an 464 . . . . . . . . . 10
11 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15
126, 7, 11syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
13 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
156, 7, 14syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1613, 15sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . 15
2119, 20syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
2212, 21eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13
23 ioombl 19459 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . . 12
25 mblvol 19426 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11
2722fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
28 ovolfcl 19363 . . . . . . . . . . . . 13
296, 7, 28syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
30 ovolioo 19462 . . . . . . . . . . . 12
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11
3226, 27, 313eqtrd 2472 . . . . . . . . . 10
3310, 32eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9
34 simpr 448 . . . . . . . . . 10
35 nnuz 10521 . . . . . . . . . 10
3634, 35syl6eleq 2526 . . . . . . . . 9
3729simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12
3829simp1d 969 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38resubcld 9465 . . . . . . . . . . 11
4032, 39eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10
4140recnd 9114 . . . . . . . . 9
4233, 36, 41fsumser 12524 . . . . . . . 8
433fveq1i 5729 . . . . . . . 8
4442, 43syl6reqr 2487 . . . . . . 7
45 fzfid 11312 . . . . . . . 8
4624, 40jca 519 . . . . . . . . 9
4746ralrimiva 2789 . . . . . . . 8
487ssriv 3352 . . . . . . . . 9
49 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11 Disj
501, 11sylan 458 . . . . . . . . . . . 12
5150disjeq2dv 4187 . . . . . . . . . . 11 Disj Disj
5249, 51mpbird 224 . . . . . . . . . 10 Disj
5352adantr 452 . . . . . . . . 9 Disj
54 disjss1 4188 . . . . . . . . 9 Disj Disj
5548, 53, 54mpsyl 61 . . . . . . . 8 Disj
56 volfiniun 19441 . . . . . . . 8 Disj
5745, 47, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . 7
5824ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9
59 finiunmbl 19438 . . . . . . . . 9
6045, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8
61 mblvol 19426 . . . . . . . 8
6260, 61syl 16 . . . . . . 7
6344, 57, 623eqtr2d 2474 . . . . . 6
64 iunss1 4104 . . . . . . . . 9
6548, 64mp1i 12 . . . . . . . 8
66 ioof 11002 . . . . . . . . . . 11
67 ressxr 9129 . . . . . . . . . . . . . 14
68 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . . . 14
6967, 67, 68mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13
7013, 69sstri 3357 . . . . . . . . . . . 12
71 fss 5599 . . . . . . . . . . . 12
721, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
73 fco 5600 . . . . . . . . . . 11
7466, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . 10
7574adantr 452 . . . . . . . . 9
76 ffn 5591 . . . . . . . . 9
77 fniunfv 5994 . . . . . . . . 9
7875, 76, 773syl 19 . . . . . . . 8
7965, 78sseqtrd 3384 . . . . . . 7
80 frn 5597 . . . . . . . . . 10
8174, 80syl 16 . . . . . . . . 9
82 sspwuni 4176 . . . . . . . . 9
8381, 82sylib 189 . . . . . . . 8
8483adantr 452 . . . . . . 7
85 ovolss 19381 . . . . . . 7
8679, 84, 85syl2anc 643 . . . . . 6
8763, 86eqbrtrd 4232 . . . . 5
8887ralrimiva 2789 . . . 4
898, 3ovolsf 19369 . . . . . 6
901, 89syl 16 . . . . 5
91 ffn 5591 . . . . 5
92 breq1 4215 . . . . . 6
9392ralrn 5873 . . . . 5
9490, 91, 933syl 19 . . . 4
9588, 94mpbird 224 . . 3
96 frn 5597 . . . . . 6
971, 89, 963syl 19 . . . . 5
98 icossxr 10995 . . . . 5
9997, 98syl6ss 3360 . . . 4
100 ovolcl 19374 . . . . 5
10183, 100syl 16 . . . 4
102 supxrleub 10905 . . . 4
10399, 101, 102syl2anc 643 . . 3
10495, 103mpbird 224 . 2
105 supxrcl 10893 . . . 4
10699, 105syl 16 . . 3
107 xrletri3 10745 . . 3
108101, 106, 107syl2anc 643 . 2
1095, 104, 108mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cop 3817  cuni 4015  ciun 4093  Disj wdisj 4182   class class class wbr 4212   cxp 4876   cdm 4878   crn 4879   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cfn 7109  csup 7445  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cpnf 9117  cxr 9119   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cn 10000  cuz 10488  cioo 10916  cico 10918  cfz 11043   cseq 11323  cabs 12039  csu 12479  covol 19359  cvol 19360 This theorem is referenced by:  uniiccvol  19472  uniioombllem2  19475 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362
 Copyright terms: Public domain W3C validator