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Theorem uniioovol 19428
Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 19405.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioovol  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioovol
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniioombl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 ssid 3331 . . 3  |-  U. ran  ( (,)  o.  F ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F )
3 uniioombl.3 . . . 4  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
43ovollb 19332 . . 3  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  F
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
51, 2, 4sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
61adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 elfznn 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... n )  ->  x  e.  NN )
8 eqid 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
98ovolfsval 19324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x
) )  -  ( 1st `  ( F `  x ) ) ) )
106, 7, 9syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x
) )  -  ( 1st `  ( F `  x ) ) ) )
11 fvco3 5763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
126, 7, 11syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
13 inss2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
14 ffvelrn 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
156, 7, 14syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1613, 15sseldi 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( RR  X.  RR ) )
17 1st2nd2 6349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 x )  = 
<. ( 1st `  ( F `  x )
) ,  ( 2nd `  ( F `  x
) ) >. )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  =  <. ( 1st `  ( F `  x )
) ,  ( 2nd `  ( F `  x
) ) >. )
1918fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `
 x ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  x )
) >. ) )
20 df-ov 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  x ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  x )
) >. )
2119, 20syl6eqr 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  x )
) (,) ( 2nd `  ( F `  x
) ) ) )
2212, 21eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( ( 1st `  ( F `  x
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x ) ) ) )
23 ioombl 19416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) )  e.  dom  vol
2422, 23syl6eqel 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )
25 mblvol 19383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol * `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  =  ( vol * `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
2722fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol * `  ( ( (,)  o.  F ) `
 x ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( F `  x )
) (,) ( 2nd `  ( F `  x
) ) ) ) )
28 ovolfcl 19320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) ) )
296, 7, 28syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) ) )
30 ovolioo 19419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3226, 27, 313eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3310, 32eqtr4d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
) )
34 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
35 nnuz 10481 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3634, 35syl6eleq 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3729simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3829simp1d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3937, 38resubcld 9425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) )  e.  RR )
4032, 39eqeltrd 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  e.  RR )
4140recnd 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  e.  CC )
4233, 36, 41fsumser 12483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ x  e.  ( 1 ... n
) ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  n
) )
433fveq1i 5692 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 n )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  n )
4442, 43syl6reqr 2459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  = 
sum_ x  e.  (
1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `
 x ) ) )
45 fzfid 11271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
4624, 40jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( (,)  o.  F ) `  x
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  e.  RR ) )
4746ralrimiva 2753 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( 1 ... n
) ( ( ( (,)  o.  F ) `
 x )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  e.  RR ) )
487ssriv 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
49 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
501, 11sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( (,)  o.  F ) `
 x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
5150disjeq2dv 4151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Disj  x  e.  NN ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  <-> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `
 x ) ) ) )
5249, 51mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN (
( (,)  o.  F
) `  x )
)
5352adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )
54 disjss1 4152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  (Disj  x  e.  NN ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  -> Disj  x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
5548, 53, 54mpsyl 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
56 volfiniun 19398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( 1 ... n ) ( ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  e.  RR )  /\ Disj  x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )
)  ->  ( vol ` 
U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  sum_ x  e.  ( 1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
5745, 47, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  sum_ x  e.  ( 1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
5824ralrimiva 2753 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  e.  dom  vol )
59 finiunmbl 19395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )  ->  U_ x  e.  (
1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )
6045, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  e.  dom  vol )
61 mblvol 19383 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol * `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol * `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
6344, 57, 623eqtr2d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( vol * `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )
) )
64 iunss1 4068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
6548, 64mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
66 ioof 10962 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
67 ressxr 9089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  RR*
68 xpss12 4944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6967, 67, 68mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
7013, 69sstri 3321 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
71 fss 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
721, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
73 fco 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
7466, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
7574adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F ) : NN --> ~P RR )
76 ffn 5554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  F
)  Fn  NN )
77 fniunfv 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
7875, 76, 773syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
7965, 78sseqtrd 3348 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
80 frn 5560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
8174, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
82 sspwuni 4140 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
8381, 82sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
8483adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  F ) 
C_  RR )
85 ovolss 19338 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )  ->  ( vol * `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  <_  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8679, 84, 85syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  <_ 
( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8763, 86eqbrtrd 4196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  <_ 
( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8887ralrimiva 2753 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )
898, 3ovolsf 19326 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
901, 89syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
91 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
92 breq1 4179 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( S `  n )  ->  (
y  <_  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <-> 
( S `  n
)  <_  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
9392ralrn 5836 . . . . 5  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )
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ran  S  y  <_  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
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 U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
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C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
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0 [,)  +oo ) )
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100 ovolcl 19331 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( (,)  o.  F
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RR* )
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o.  F ) )  <->  A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
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S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
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 U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
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S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
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( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) ) )
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o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) ) )
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)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   <.cop 3781   U.cuni 3979   U_ciun 4057  Disj wdisj 4146   class class class wbr 4176    X. cxp 4839   dom cdm 4841   ran crn 4842    o. ccom 4845    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311   Fincfn 7072   supcsup 7407   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    +oocpnf 9077   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   NNcn 9960   ZZ>=cuz 10448   (,)cioo 10876   [,)cico 10878   ...cfz 11003    seq cseq 11282   abscabs 11998   sum_csu 12438   vol
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This theorem is referenced by:  uniiccvol  19429  uniioombllem2  19432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-disj 4147  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-rest 13609  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-cmp 17408  df-ovol 19318  df-vol 19319
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