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Theorem unineq 3419
Description: Infer equality from equalities of union and intersection. Exercise 20 of [Enderton] p. 32 and its converse. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
unineq  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  <->  A  =  B )

Proof of Theorem unineq
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C )  ->  ( x  e.  ( A  i^i  C
)  <->  x  e.  ( B  i^i  C ) ) )
2 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
3 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
41, 2, 33bitr3g 278 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C )  ->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C )
) )
5 iba 489 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) ) )
6 iba 489 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
x  e.  B  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
75, 6bibi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C )
) ) )
84, 7syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  (
( A  i^i  C
)  =  ( B  i^i  C )  -> 
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
98adantld 453 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
10 uncom 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  C )  =  ( C  u.  A
)
11 uncom 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  C )  =  ( C  u.  B
)
1210, 11eqeq12i 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  <->  ( C  u.  A )  =  ( C  u.  B ) )
13 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  u.  A )  =  ( C  u.  B )  ->  (
x  e.  ( C  u.  A )  <->  x  e.  ( C  u.  B
) ) )
1412, 13sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  ->  (
x  e.  ( C  u.  A )  <->  x  e.  ( C  u.  B
) ) )
15 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  u.  A )  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
16 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  u.  B )  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B ) )
1714, 15, 163bitr3g 278 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  ->  (
( x  e.  C  \/  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B ) ) )
18 biorf 394 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  A  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
19 biorf 394 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  B  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B )
) )
2018, 19bibi12d 312 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  ( ( x  e.  C  \/  x  e.  A )  <->  ( x  e.  C  \/  x  e.  B ) ) ) )
2117, 20syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
2221adantrd 454 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( ( ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C
)  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
239, 22pm2.61i 156 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
2423eqrdv 2281 . 2  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  A  =  B )
25 uneq1 3322 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  u.  C )  =  ( B  u.  C ) )
26 ineq1 3363 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C
) )
2725, 26jca 518 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) ) )
2824, 27impbii 180 1  |-  ( ( ( A  u.  C
)  =  ( B  u.  C )  /\  ( A  i^i  C )  =  ( B  i^i  C ) )  <->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-v 2790  df-un 3157  df-in 3159
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