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Theorem unint2t 25518
Description: The intersection of two topologies over the same underlying set  U. J is a topology over  U. J. compare uniin 3847. (Contributed by FL, 27-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
unint2t  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  U. ( J  i^i  K )  =  U. J
)

Proof of Theorem unint2t
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniin 3847 . . 3  |-  U. ( J  i^i  K )  C_  ( U. J  i^i  U. K )
2 inss1 3389 . . . 4  |-  ( U. J  i^i  U. K ) 
C_  U. J
32a1i 10 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  ( U. J  i^i  U. K )  C_  U. J )
41, 3syl5ss 3190 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  U. ( J  i^i  K )  C_  U. J )
5 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
65topopn 16652 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
7 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
87topopn 16652 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  K )
9 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. K  =  U. J  -> 
( U. K  e.  K  <->  U. J  e.  K
) )
109eqcoms 2286 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  =  U. K  -> 
( U. K  e.  K  <->  U. J  e.  K
) )
11 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  ( J  i^i  K )  <->  ( U. J  e.  J  /\  U. J  e.  K ) )
1211simplbi2com 1364 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  e.  K  ->  ( U. J  e.  J  ->  U. J  e.  ( J  i^i  K ) ) )
1310, 12syl6bi 219 . . . . . . . . 9  |-  ( U. J  =  U. K  -> 
( U. K  e.  K  ->  ( U. J  e.  J  ->  U. J  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
1413com3l 75 . . . . . . . 8  |-  ( U. K  e.  K  ->  ( U. J  e.  J  ->  ( U. J  = 
U. K  ->  U. J  e.  ( J  i^i  K
) ) ) )
158, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  ( U. J  e.  J  ->  ( U. J  = 
U. K  ->  U. J  e.  ( J  i^i  K
) ) ) )
166, 15syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  ->  ( U. J  =  U. K  ->  U. J  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
17163imp 1145 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  U. J  e.  ( J  i^i  K ) )
18 elssuni 3855 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
19 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. J  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  U. J ) )
2019rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( U. J  e.  ( J  i^i  K )  /\  x  C_  U. J
)  ->  E. y  e.  ( J  i^i  K
) x  C_  y
)
2117, 18, 20syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K
)  /\  x  e.  J )  ->  E. y  e.  ( J  i^i  K
) x  C_  y
)
2221ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  A. x  e.  J  E. y  e.  ( J  i^i  K ) x 
C_  y )
23 uniss2 3858 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  E. y  e.  ( J  i^i  K ) x  C_  y  ->  U. J  C_  U. ( J  i^i  K ) )
2422, 23syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  U. J  C_  U. ( J  i^i  K ) )
254, 24eqssd 3196 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  U. ( J  i^i  K )  =  U. J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  intcont  25543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-uni 3828  df-top 16636
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