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Theorem uniopn 16643
Description: The union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
uniopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  ->  U. A  e.  J
)

Proof of Theorem uniopn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istopg 16641 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
21ibi 232 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
32simpld 445 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) )
4 elpw2g 4174 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ~P J  <->  A 
C_  J ) )
54biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  ->  A  e.  ~P J
)
6 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  J  <->  A  C_  J
) )
7 unieq 3836 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
87eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  e.  J  <->  U. A  e.  J ) )
96, 8imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  <->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J
) ) )
109spcgv 2868 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P J  -> 
( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J )  ->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J
) ) )
115, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J )  ->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J
) ) )
1211com23 72 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( A  C_  J  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J )  ->  U. A  e.  J
) ) )
1312ex 423 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  J  ->  ( A  C_  J  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  ->  U. A  e.  J ) ) ) )
1413pm2.43d 44 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  J  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  ->  U. A  e.  J ) ) )
153, 14mpid 37 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  J  ->  U. A  e.  J ) )
1615imp 418 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  ->  U. A  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  iunopn  16644  unopn  16649  0opn  16650  topopn  16652  tgtop  16711  ntropn  16786  toponmre  16830  neips  16850  txcmplem1  17335  unimopn  18042  metrest  18070  cvmscld  23804  toplat  25290  inttop2  25515  qusp  25542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-uni 3828  df-top 16636
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