Theorem unipw 2756

Description: A class equals the union of its power class. Exercise 6(a) of [Enderton] p. 38.

Assertion

Ref	Expression
unipw	|- U.P~A = A

Proof of Theorem unipw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 2506	. . . 4 |- (x e. U.P~A <-> E.y(x e. y /\ y e. P~A))
2		visset 1813	. . . . . . . 8 |- y e. V
3	2	elpw 2404	. . . . . . 7 |- (y e. P~A <-> y (_ A)
4		ssel 2063	. . . . . . 7 |- (y (_ A -> (x e. y -> x e. A))
5	3, 4	sylbi 199	. . . . . 6 |- (y e. P~A -> (x e. y -> x e. A))
6	5	impcom 351	. . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. P~A) -> x e. A)
7	6	19.23aiv 1295	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. P~A) -> x e. A)
8	1, 7	sylbi 199	. . 3 |- (x e. U.P~A -> x e. A)
9	8	ssriv 2069	. 2 |- U.P~A (_ A
10		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
11	10	snid 2435	. . . . 5 |- x e. {x}
12		snex 2750	. . . . . 6 |- {x} e. V
13		eleq2 1535	. . . . . . 7 |- (y = {x} -> (x e. y <-> x e. {x}))
14		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (y = {x} -> (y e. P~A <-> {x} e. P~A))
15	13, 14	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (y = {x} -> ((x e. y /\ y e. P~A) <-> (x e. {x} /\ {x} e. P~A)))
16	12, 15	cla4ev 1869	. . . . 5 |- ((x e. {x} /\ {x} e. P~A) -> E.y(x e. y /\ y e. P~A))
17	11, 16	mpan 695	. . . 4 |- ({x} e. P~A -> E.y(x e. y /\ y e. P~A))
18	10	snelpw 2752	. . . 4 |- (x e. A <-> {x} e. P~A)
19	17, 18, 1	3imtr4 219	. . 3 |- (x e. A -> x e. U.P~A)
20	19	ssriv 2069	. 2 |- A (_ U.P~A
21	9, 20	eqssi 2078	1 |- U.P~A = A

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047  P~cpw 2401  {csn 2409  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  sspwuni 2758  pwexb 2908  univ 2909  unixpss 3258  unirnioo 6402  distop 7649  distps 7654  cncnplem1 7774  uniopn 7861  opnuni 7868  dfchsup2 9298  hsupval2t 9300  hsupvalt 9301  shsupclt 9306  shsupunss 9315  mapdiscn 10511  fgsb 10570  fgsbOLD 10571  dtopcl 10615  dtt2 10618

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-uni 2504

Copyright terms: Public domain