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Theorem unirep 26416
Description: Define a quantity whose definition involves a choice of representative, but which is uniquely determined regardless of the choice. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
unirep.1  |-  ( y  =  D  ->  ( ph 
<->  ps ) )
unirep.2  |-  ( y  =  D  ->  B  =  C )
unirep.3  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ch ) )
unirep.4  |-  ( y  =  z  ->  B  =  F )
unirep.5  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
unirep  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  ( iota x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, z   
x, C, y    x, D, y    x, F, y    ph, x, z    ps, x, y    ch, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( z)    ch( z)    B( y)    C( z)    D( z)    F( z)

Proof of Theorem unirep
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( ps 
->  C  =  C
)
21ancli 536 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ps  /\  C  =  C ) )
3 unirep.1 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4 unirep.2 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  B  =  C )
54eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( C  =  B  <->  C  =  C ) )
63, 5anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( ph  /\  C  =  B )  <->  ( ps  /\  C  =  C ) ) )
76rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( D  e.  A  /\  ( ps  /\  C  =  C ) )  ->  E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B ) )
82, 7sylan2 462 . . 3  |-  ( ( D  e.  A  /\  ps )  ->  E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B ) )
98adantl 454 . 2  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B ) )
10 nfcvd 2575 . . . . . 6  |-  ( D  e.  A  ->  F/_ y C )
1110, 4csbiegf 3293 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  [_ D  /  y ]_ B  =  C )
12 unirep.5 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1312ax-gen 1556 . . . . . 6  |-  A. y  B  e.  _V
14 csbexg 3263 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  A  /\  A. y  B  e.  _V )  ->  [_ D  /  y ]_ B  e.  _V )
1513, 14mpan2 654 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  [_ D  /  y ]_ B  e.  _V )
1611, 15eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( D  e.  A  ->  C  e.  _V )
1716ad2antrl 710 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  C  e.  _V )
18 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  C  ->  (
x  =  B  <->  C  =  B ) )
1918anbi2d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
( ph  /\  x  =  B )  <->  ( ph  /\  C  =  B ) ) )
2019rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )  <->  E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B ) ) )
2120spcegv 3039 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  _V  ->  ( E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B )  ->  E. x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) ) )
2216, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  A  ->  ( E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B )  ->  E. x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) ) )
2322adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  A  /\  ps )  ->  ( E. y  e.  A  (
ph  /\  C  =  B )  ->  E. x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) ) )
248, 23mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  A  /\  ps )  ->  E. x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) )
2524adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  E. x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) )
26 r19.29 2848 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) )  ->  E. y  e.  A  ( A. z  e.  A  (
( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ph  /\  x  =  B )
) )
27 r19.29 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  E. z  e.  A  ( (
( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ch  /\  w  =  F )
) )
28 an4 799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  B )  /\  ( ch  /\  w  =  F ) )  <->  ( ( ph  /\  ch )  /\  ( x  =  B  /\  w  =  F
) ) )
29 pm3.35 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ch )  /\  ( ( ph  /\ 
ch )  ->  B  =  F ) )  ->  B  =  F )
30 eqeq12 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  w  =  F )  ->  ( x  =  w  <-> 
B  =  F ) )
3129, 30syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ch )  /\  ( ( ph  /\ 
ch )  ->  B  =  F ) )  -> 
( ( x  =  B  /\  w  =  F )  ->  x  =  w ) )
3231ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ph  /\  ch ) )  ->  ( ( x  =  B  /\  w  =  F )  ->  x  =  w ) )
3332expimpd 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  ->  ( (
( ph  /\  ch )  /\  ( x  =  B  /\  w  =  F ) )  ->  x  =  w ) )
3428, 33syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  ->  ( (
( ph  /\  x  =  B )  /\  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  x  =  w ) )
3534ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  ->  ( (
( ch  /\  w  =  F )  /\  ( ph  /\  x  =  B ) )  ->  x  =  w ) )
3635expdimp 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  (
( ph  /\  x  =  B )  ->  x  =  w ) )
3736rexlimivw 2828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  A  ( ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  (
( ph  /\  x  =  B )  ->  x  =  w ) )
3837imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. z  e.  A  ( ( ( ph  /\ 
ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ch  /\  w  =  F ) )  /\  ( ph  /\  x  =  B ) )  ->  x  =  w )
3927, 38sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. z  e.  A  ( ( ph  /\ 
ch )  ->  B  =  F )  /\  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )  /\  ( ph  /\  x  =  B ) )  ->  x  =  w )
4039an32s 781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. z  e.  A  ( ( ph  /\ 
ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ph  /\  x  =  B ) )  /\  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  x  =  w )
4140ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ph  /\  x  =  B ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F )  ->  x  =  w ) )
4241rexlimivw 2828 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( ph  /\  x  =  B ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F )  ->  x  =  w ) )
4326, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F )  ->  x  =  w ) )
4443expimpd 588 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  ->  ( ( E. y  e.  A  (
ph  /\  x  =  B )  /\  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  x  =  w ) )
4544adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  (
( E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )  /\  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  x  =  w )
)
4645alrimivv 1643 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  A. x A. w ( ( E. y  e.  A  (
ph  /\  x  =  B )  /\  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  x  =  w ) )
47 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x  =  B  <->  w  =  B ) )
4847anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  x  =  B )  <->  ( ph  /\  w  =  B ) ) )
4948rexbidv 2728 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )  <->  E. y  e.  A  ( ph  /\  w  =  B ) ) )
50 unirep.3 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ch ) )
51 unirep.4 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  B  =  F )
5251eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
w  =  B  <->  w  =  F ) )
5350, 52anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  /\  w  =  B )  <->  ( ch  /\  w  =  F ) ) )
5453cbvrexv 2935 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  (
ph  /\  w  =  B )  <->  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )
5549, 54syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )  <->  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) ) )
5655eu4 2322 . . . 4  |-  ( E! x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )  <->  ( E. x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )  /\  A. x A. w ( ( E. y  e.  A  (
ph  /\  x  =  B )  /\  E. z  e.  A  ( ch  /\  w  =  F ) )  ->  x  =  w ) ) )
5725, 46, 56sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  E! x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) )
5820iota2 5446 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  E! x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )
)  ->  ( E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B )  <->  ( iota x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) )  =  C ) )
5917, 57, 58syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  ( E. y  e.  A  ( ph  /\  C  =  B )  <->  ( iota x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B ) )  =  C ) )
609, 59mpbid 203 1  |-  ( ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( ph  /\  ch )  ->  B  =  F )  /\  ( D  e.  A  /\  ps ) )  ->  ( iota x E. y  e.  A  ( ph  /\  x  =  B )
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   [_csb 3253   iotacio 5418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-un 3327  df-sn 3822  df-pr 3823  df-uni 4018  df-iota 5420
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