MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnbl Structured version   Unicode version

Theorem unirnbl 18450
Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
unirnbl  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )

Proof of Theorem unirnbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blf 18437 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 frn 5597 . . . 4  |-  ( (
ball `  D ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  ->  ran  ( ball `  D
)  C_  ~P X
)
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  C_ 
~P X )
4 sspwuni 4176 . . 3  |-  ( ran  ( ball `  D
)  C_  ~P X  <->  U.
ran  ( ball `  D
)  C_  X )
53, 4sylib 189 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  C_  X )
6 1rp 10616 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
7 blcntr 18443 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
86, 7mp3an3 1268 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
9 rpxr 10619 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
106, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
11 blelrn 18447 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  e.  ran  ( ball `  D ) )
1210, 11mp3an3 1268 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D )
1 )  e.  ran  ( ball `  D )
)
13 elunii 4020 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 )  /\  ( x ( ball `  D ) 1 )  e.  ran  ( ball `  D ) )  ->  x  e.  U. ran  ( ball `  D ) )
148, 12, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  U.
ran  ( ball `  D
) )
1514ex 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  ( ball `  D ) ) )
1615ssrdv 3354 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  C_ 
U. ran  ( ball `  D ) )
175, 16eqssd 3365 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015    X. cxp 4876   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991   RR*cxr 9119   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688
This theorem is referenced by:  blbas  18460  mopntopon  18469  elmopn  18472  imasf1oxms  18519  metss  18538  metutopOLD  18612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-rp 10613  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697
  Copyright terms: Public domain W3C validator