MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unisn2 Unicode version

Theorem unisn2 4538
Description: A version of unisn 3859 without the  A  e.  _V hypothesis. (Contributed by Stefan Allan, 14-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
unisn2  |-  U. { A }  e.  { (/) ,  A }

Proof of Theorem unisn2
StepHypRef Expression
1 unisng 3860 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  U. { A }  =  A
)
2 prid2g 3746 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { (/) ,  A }
)
31, 2eqeltrd 2370 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  U. { A }  e.  { (/) ,  A } )
4 snprc 3708 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
54biimpi 186 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
65unieqd 3854 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { A }  =  U. (/) )
7 uni0 3870 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
8 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
98prid1 3747 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
,  A }
107, 9eqeltri 2366 . . 3  |-  U. (/)  e.  { (/)
,  A }
116, 10syl6eqel 2384 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { A }  e.  {
(/) ,  A }
)
123, 11pm2.61i 156 1  |-  U. { A }  e.  { (/) ,  A }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844
  Copyright terms: Public domain W3C validator