MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unisn2 Unicode version

Theorem unisn2 4522
Description: A version of unisn 3843 without the  A  e.  _V hypothesis. (Contributed by Stefan Allan, 14-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
unisn2  |-  U. { A }  e.  { (/) ,  A }

Proof of Theorem unisn2
StepHypRef Expression
1 unisng 3844 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  U. { A }  =  A
)
2 prid2g 3733 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { (/) ,  A }
)
31, 2eqeltrd 2357 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  U. { A }  e.  { (/) ,  A } )
4 snprc 3695 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
54biimpi 186 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
65unieqd 3838 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { A }  =  U. (/) )
7 uni0 3854 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
8 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
98prid1 3734 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
,  A }
107, 9eqeltri 2353 . . 3  |-  U. (/)  e.  { (/)
,  A }
116, 10syl6eqel 2371 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { A }  e.  {
(/) ,  A }
)
123, 11pm2.61i 156 1  |-  U. { A }  e.  { (/) ,  A }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828
  Copyright terms: Public domain W3C validator