Theorem uniss 2521

Description: Subclass relationship for class union. Theorem 61 of [Suppes] p. 39.

Assertion

Ref	Expression
uniss	|- (A (_ B -> U.A (_ U.B)

Proof of Theorem uniss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . 6 |- (A (_ B -> (y e. A -> y e. B))
2	1	anim2d 561	. . . . 5 |- (A (_ B -> ((x e. y /\ y e. A) -> (x e. y /\ y e. B)))
3	2	19.22dv 1290	. . . 4 |- (A (_ B -> (E.y(x e. y /\ y e. A) -> E.y(x e. y /\ y e. B)))
4	3	19.21aiv 1286	. . 3 |- (A (_ B -> A.x(E.y(x e. y /\ y e. A) -> E.y(x e. y /\ y e. B)))
5		ss2ab 2116	. . 3 |- ({x | E.y(x e. y /\ y e. A)} (_ {x | E.y(x e. y /\ y e. B)} <-> A.x(E.y(x e. y /\ y e. A) -> E.y(x e. y /\ y e. B)))
6	4, 5	sylibr 200	. 2 |- (A (_ B -> {x | E.y(x e. y /\ y e. A)} (_ {x | E.y(x e. y /\ y e. B)})
7		df-uni 2504	. 2 |- U.A = {x | E.y(x e. y /\ y e. A)}
8		df-uni 2504	. 2 |- U.B = {x | E.y(x e. y /\ y e. B)}
9	6, 7, 8	3sstr4g 2102	1 |- (A (_ B -> U.A (_ U.B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   (_ wss 2047  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  unidif 2530  intssuni2 2556  sspwuni 2758  unixpss 3258  relfld 3515  unixp0 3518  trcl 4645  rankuni 4698  cflim 4909  unirnioo 6402  tgval2t 7617  unitgt 7623  tgclt 7624  tgsst 7636  basgen2t 7639  subbas2OLD 7645  distop 7649  fctopOLD 7650  cctop 7652  cncnplem1 7774  uniopn 7861  opnuni 7868  unirnbl 7875  dfchsup2 9298  hsupval2t 9300  hsupvalt 9301  shsupclt 9306  hsupss 9309  shsupunss 9315  shatomistic 10288  fgsb 10570  fgsbOLD 10571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-in 2051  df-ss 2053  df-uni 2504

Copyright terms: Public domain