MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitabl Structured version   Unicode version

Theorem unitabl 15763
Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitgrp.2  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s 
U )
Assertion
Ref Expression
unitabl  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem unitabl
StepHypRef Expression
1 crngrng 15664 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 unitmulcl.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
3 unitgrp.2 . . . 4  |-  G  =  ( (mulGrp `  R
)s 
U )
42, 3unitgrp 15762 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Grp )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Grp )
6 eqid 2435 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
76crngmgp 15662 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
8 grpmnd 14807 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
95, 8syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Mnd )
103subcmn 15446 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  G  e.  Mnd )  ->  G  e. CMnd )
117, 9, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
12 isabl 15406 . 2  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
135, 11, 12sylanbrc 646 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾s cress 13460   Mndcmnd 14674   Grpcgrp 14675  CMndccmn 15402   Abelcabel 15403  mulGrpcmgp 15638   Ringcrg 15650   CRingccrg 15651  Unitcui 15734
This theorem is referenced by:  cnmgpabl  16750  dchrpt  21041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737
  Copyright terms: Public domain W3C validator