MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Structured version   Unicode version

Theorem unitcl 15765
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
unitcl.2  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
unitcl  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2437 . . . 4  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
4 eqid 2437 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
5 eqid 2437 . . . 4  |-  ( ||r `  (oppr `  R
) )  =  (
||r `  (oppr
`  R ) )
61, 2, 3, 4, 5isunit 15763 . . 3  |-  ( X  e.  U  <->  ( X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  /\  X ( ||r `  (oppr `  R
) ) ( 1r
`  R ) ) )
76simplbi 448 . 2  |-  ( X  e.  U  ->  X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R ) )
8 unitcl.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
98, 3dvdsrcl 15755 . 2  |-  ( X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  ->  X  e.  B
)
107, 9syl 16 1  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455   Basecbs 13470   1rcur 15663  opprcoppr 15728   ||rcdsr 15744  Unitcui 15745
This theorem is referenced by:  unitss  15766  unitmulcl  15770  unitgrp  15773  rnginvcl  15782  unitnegcl  15787  unitdvcl  15793  dvrid  15794  dvrcan1  15797  dvrcan3  15798  dvreq1  15799  irredrmul  15813  isdrng2  15846  subrguss  15884  subrginv  15885  subrgunit  15887  unitrrg  16354  gzrngunitlem  16764  gzrngunit  16765  zrngunit  16766  unitnmn0  18705  nminvr  18706  nrginvrcnlem  18727  ig1peu  20095  dchrelbas3  21023  dchrmulcl  21034  kerunit  24262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-dvdsr 15747  df-unit 15748
  Copyright terms: Public domain W3C validator