MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Unicode version

Theorem unitcl 15441
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
unitcl.2  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
unitcl  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
4 eqid 2283 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ||r `  (oppr `  R
) )  =  (
||r `  (oppr
`  R ) )
61, 2, 3, 4, 5isunit 15439 . . 3  |-  ( X  e.  U  <->  ( X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  /\  X ( ||r `  (oppr `  R
) ) ( 1r
`  R ) ) )
76simplbi 446 . 2  |-  ( X  e.  U  ->  X
( ||r `
 R ) ( 1r `  R ) )
8 unitcl.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
98, 3dvdsrcl 15431 . 2  |-  ( X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  ->  X  e.  B
)
107, 9syl 15 1  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   1rcur 15339  opprcoppr 15404   ||rcdsr 15420  Unitcui 15421
This theorem is referenced by:  unitss  15442  unitmulcl  15446  unitgrp  15449  rnginvcl  15458  unitnegcl  15463  unitdvcl  15469  dvrid  15470  dvrcan1  15473  dvrcan3  15474  dvreq1  15475  irredrmul  15489  isdrng2  15522  subrguss  15560  subrginv  15561  subrgunit  15563  unitrrg  16034  gzrngunitlem  16436  gzrngunit  16437  zrngunit  16438  unitnmn0  18179  nminvr  18180  nrginvrcnlem  18201  ig1peu  19557  dchrelbas3  20477  dchrmulcl  20488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-dvdsr 15423  df-unit 15424
  Copyright terms: Public domain W3C validator