MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitdvcl Unicode version

Theorem unitdvcl 15562
Description: The units are closed under division. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitdvcl.o  |-  U  =  (Unit `  R )
unitdvcl.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
Assertion
Ref Expression
unitdvcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y )  e.  U )

Proof of Theorem unitdvcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 unitdvcl.o . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
31, 2unitcl 15534 . . . 4  |-  ( X  e.  U  ->  X  e.  ( Base `  R
) )
4 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
6 unitdvcl.d . . . . 5  |-  ./  =  (/r
`  R )
71, 4, 2, 5, 6dvrval 15560 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Base `  R )  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y )  =  ( X ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  Y )
) )
83, 7sylan 457 . . 3  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y
)  =  ( X ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  Y
) ) )
983adant1 973 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y )  =  ( X ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  Y )
) )
102, 5unitinvcl 15549 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  Y )  e.  U
)
11103adant2 974 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  Y )  e.  U
)
122, 4unitmulcl 15539 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  (
( invr `  R ) `  Y )  e.  U
)  ->  ( X
( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  Y
) )  e.  U
)
1311, 12syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  Y ) )  e.  U )
149, 13eqeltrd 2432 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y )  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   .rcmulr 13300   Ringcrg 15430  Unitcui 15514   invrcinvr 15546  /rcdvr 15557
This theorem is referenced by:  irredrmul  15582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-dvr 15558
  Copyright terms: Public domain W3C validator