MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitg Unicode version

Theorem unitg 16948
Description: The topology generated by a basis  B is a topology on  U. B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class  TopBases completely specifies the basis it corresponds to. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
unitg  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )

Proof of Theorem unitg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 3954 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ( topGen `  B )  <->  E. y  e.  ( topGen `  B )
x  e.  y )
2 eltg 16938 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  <->  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) ) )
3 inss1 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P y ) 
C_  B
43unissi 3973 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B
5 sstr 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  U. ( B  i^i  ~P y )  /\  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B )  -> 
y  C_  U. B )
64, 5mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  y  C_ 
U. B )
76sseld 3283 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
82, 7syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) ) )
98rexlimdv 2765 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ( topGen `
 B ) x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
101, 9syl5bi 209 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  ->  x  e.  U. B ) )
11 bastg 16947 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
1211unissd 3974 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
1312sseld 3283 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  U. ( topGen `
 B ) ) )
1410, 13impbid 184 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  <->  x  e.  U. B ) )
1514eqrdv 2378 1  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   ` cfv 5387   topGenctg 13585
This theorem is referenced by:  tgcl  16950  tgtopon  16952  tgcmp  17379  2ndcsep  17436  txtopon  17537  ptuni  17540  xkouni  17545  prdstopn  17574  tgqtop  17658  alexsubb  17991  alexsubALTlem3  17994  alexsubALTlem4  17995  ptcmplem1  17997  uniretop  18660  fneval  26051  fnemeet1  26079  kelac2  26825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-topgen 13587
  Copyright terms: Public domain W3C validator