MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitg Unicode version

Theorem unitg 16721
Description: The topology generated by a basis  B is a topology on  U. B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class  TopBases completely specifies the basis it corresponds to. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
unitg  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )

Proof of Theorem unitg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 3847 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ( topGen `  B )  <->  E. y  e.  ( topGen `  B )
x  e.  y )
2 eltg 16711 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  <->  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) ) )
3 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P y ) 
C_  B
4 uniss 3864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  ~P y
)  C_  B  ->  U. ( B  i^i  ~P y )  C_  U. B
)
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B
6 sstr 3200 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  U. ( B  i^i  ~P y )  /\  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B )  -> 
y  C_  U. B )
75, 6mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  y  C_ 
U. B )
87sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
92, 8syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  (
y  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) ) )
109rexlimdv 2679 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ( topGen `
 B ) x  e.  y  ->  x  e.  U. B ) )
111, 10syl5bi 208 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  ->  x  e.  U. B ) )
12 bastg 16720 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
13 uniss 3864 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. B  C_  U. ( topGen `  B )
)
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
1514sseld 3192 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  U. ( topGen `
 B ) ) )
1611, 15impbid 183 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  U. ( topGen `
 B )  <->  x  e.  U. B ) )
1716eqrdv 2294 1  |-  ( B  e.  V  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  tgcl  16723  tgtopon  16725  tgcmp  17144  2ndcsep  17201  txtopon  17302  ptuni  17305  xkouni  17310  prdstopn  17338  tgqtop  17419  alexsubb  17756  alexsubALTlem3  17759  alexsubALTlem4  17760  ptcmplem1  17762  uniretop  18287  fneval  26390  fnemeet1  26418  kelac2  27266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator