MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitinvinv Structured version   Unicode version

Theorem unitinvinv 15773
Description: The inverse of the inverse of a unit is the same element. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitinvcl.2  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
unitinvinv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
I `  ( I `  X ) )  =  X )

Proof of Theorem unitinvinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )s  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U
)
31, 2unitgrp 15765 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  U )  e.  Grp )
41, 2unitgrpbas 15764 . . 3  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
5 unitinvcl.2 . . . 4  |-  I  =  ( invr `  R
)
61, 2, 5invrfval 15771 . . 3  |-  I  =  ( inv g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
74, 6grpinvinv 14851 . 2  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s 
U )  e.  Grp  /\  X  e.  U )  ->  ( I `  ( I `  X
) )  =  X )
83, 7sylan 458 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
I `  ( I `  X ) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   ↾s cress 13463   Grpcgrp 14678  mulGrpcmgp 15641   Ringcrg 15653  Unitcui 15737   invrcinvr 15769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-tpos 6472  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-oppr 15721  df-dvdsr 15739  df-unit 15740  df-invr 15770
  Copyright terms: Public domain W3C validator