MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitlinv Unicode version

Theorem unitlinv 15702
Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitinvcl.2  |-  I  =  ( invr `  R
)
unitinvcl.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
unitinvcl.4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
unitlinv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  .1.  )

Proof of Theorem unitlinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2380 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )s  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U
)
31, 2unitgrp 15692 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  R )s  U )  e.  Grp )
41, 2unitgrpbas 15691 . . . 4  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
5 fvex 5675 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2450 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
7 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
8 unitinvcl.3 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
97, 8mgpplusg 15572 . . . . . 6  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
102, 9ressplusg 13491 . . . . 5  |-  ( U  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
116, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) )
12 eqid 2380 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
13 unitinvcl.2 . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
141, 2, 13invrfval 15698 . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
154, 11, 12, 14grplinv 14771 . . 3  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s 
U )  e.  Grp  /\  X  e.  U )  ->  ( ( I `
 X )  .x.  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
163, 15sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
17 unitinvcl.4 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
181, 2, 17unitgrpid 15694 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
1918adantr 452 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
2016, 19eqtr4d 2415 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  (
( I `  X
)  .x.  X )  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   ↾s cress 13390   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450   0gc0g 13643   Grpcgrp 14605  mulGrpcmgp 15568   Ringcrg 15580   1rcur 15582  Unitcui 15664   invrcinvr 15696
This theorem is referenced by:  dvrcan1  15716  drnginvrl  15774  subrginv  15804  subrgunit  15806  unitrrg  16273  nrginvrcnlem  18590  uc1pmon1p  19934  rhmunitinv  24069  kerunit  24070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697
  Copyright terms: Public domain W3C validator