MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitmulclb Structured version   Unicode version

Theorem unitmulclb 15762
Description: Reversal of unitmulcl 15761 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitmulcl.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
unitmulclb.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
unitmulclb  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  <->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) ) )

Proof of Theorem unitmulclb
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
2 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 unitmulclb.1 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
6 unitmulcl.2 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
74, 5, 6dvdsrmul 15745 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( ||r `
 R ) ( Y  .x.  X ) )
82, 3, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X
( ||r `
 R ) ( Y  .x.  X ) )
94, 6crngcom 15670 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( Y  .x.  X
) )
108, 9breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )
11 unitmulcl.1 . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
1211, 5dvdsunit 15760 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y )  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U
)  ->  X  e.  U )
13123expia 1155 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )  ->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  ->  X  e.  U ) )
141, 10, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  ->  X  e.  U )
)
154, 5, 6dvdsrmul 15745 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  Y ( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )
163, 2, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )
1711, 5dvdsunit 15760 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Y
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y )  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U
)  ->  Y  e.  U )
18173expia 1155 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Y
( ||r `
 R ) ( X  .x.  Y ) )  ->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  ->  Y  e.  U ) )
191, 16, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  ->  Y  e.  U )
)
2014, 19jcad 520 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  -> 
( X  e.  U  /\  Y  e.  U
) ) )
21 crngrng 15666 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
22213ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2311, 6unitmulcl 15761 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  U )
24233expib 1156 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  U ) )
2522, 24syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  e.  U  /\  Y  e.  U
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  U
) )
2620, 25impbid 184 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  <->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   ||rcdsr 15735  Unitcui 15736
This theorem is referenced by:  dchrelbas3  21014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739
  Copyright terms: Public domain W3C validator