MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitsubm Unicode version

Theorem unitsubm 15452
Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitsubm.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitsubm.2  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
unitsubm  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubMnd `  M )
)

Proof of Theorem unitsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 unitsubm.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
31, 2unitss 15442 . . 3  |-  U  C_  ( Base `  R )
43a1i 10 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  C_  ( Base `  R )
)
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
62, 51unit 15440 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  U )
7 unitsubm.2 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
87oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( Ms  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U )
92, 8unitgrp 15449 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Ms  U )  e.  Grp )
10 grpmnd 14494 . . 3  |-  ( ( Ms  U )  e.  Grp  ->  ( Ms  U )  e.  Mnd )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Ms  U )  e.  Mnd )
127rngmgp 15347 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
137, 1mgpbas 15331 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
147, 5rngidval 15343 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
15 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Ms  U )  =  ( Ms  U )
1613, 14, 15issubm2 14426 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( U  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( U  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  U  /\  ( Ms  U )  e.  Mnd ) ) )
1712, 16syl 15 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( U  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  U  /\  ( Ms  U )  e.  Mnd ) ) )
184, 6, 11, 17mpbir3and 1135 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubMnd `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362  SubMndcsubmnd 14414  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   1rcur 15339  Unitcui 15421
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  18203  amgmlem  20284  dchrfi  20494  dchrghm  20495  dchrabs  20499  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  idomodle  27512  proot1ex  27520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424
  Copyright terms: Public domain W3C validator