MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitsubm Unicode version

Theorem unitsubm 15704
Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitsubm.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unitsubm.2  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
unitsubm  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubMnd `  M )
)

Proof of Theorem unitsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 unitsubm.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
31, 2unitss 15694 . . 3  |-  U  C_  ( Base `  R )
43a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  C_  ( Base `  R )
)
5 eqid 2389 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
62, 51unit 15692 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  U )
7 unitsubm.2 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
87oveq1i 6032 . . . 4  |-  ( Ms  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U )
92, 8unitgrp 15701 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Ms  U )  e.  Grp )
10 grpmnd 14746 . . 3  |-  ( ( Ms  U )  e.  Grp  ->  ( Ms  U )  e.  Mnd )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Ms  U )  e.  Mnd )
127rngmgp 15599 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
137, 1mgpbas 15583 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
147, 5rngidval 15595 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
15 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Ms  U )  =  ( Ms  U )
1613, 14, 15issubm2 14678 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( U  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( U  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  U  /\  ( Ms  U )  e.  Mnd ) ) )
1712, 16syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( U  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  U  /\  ( Ms  U )  e.  Mnd ) ) )
184, 6, 11, 17mpbir3and 1137 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubMnd `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   ↾s cress 13399   Mndcmnd 14613   Grpcgrp 14614  SubMndcsubmnd 14666  mulGrpcmgp 15577   Ringcrg 15589   1rcur 15591  Unitcui 15673
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  18601  amgmlem  20697  dchrfi  20908  dchrghm  20909  dchrabs  20913  lgseisenlem3  21004  lgseisenlem4  21005  idomodle  27183  proot1ex  27191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676
  Copyright terms: Public domain W3C validator