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Theorem uniuni 4657
Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
uniuni  |-  U. U. A  =  U. { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) }
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem uniuni
Dummy variables  v 
z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 3961 . . . . . 6  |-  ( u  e.  U. A  <->  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )
21anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  u  /\  u  e.  U. A )  <-> 
( z  e.  u  /\  E. y ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
32exbii 1589 . . . 4  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  u  e. 
U. A )  <->  E. u
( z  e.  u  /\  E. y ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
4 19.42v 1917 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) )  <->  ( z  e.  u  /\  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) ) )
54bicomi 194 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  u  /\  E. y ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) )  <->  E. y
( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) ) )
65exbii 1589 . . . . 5  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. u E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
7 excom 1748 . . . . . 6  |-  ( E. u E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y E. u ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A ) ) )
8 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  u  /\  u  e.  y
)  /\  y  e.  A )  <->  ( z  e.  u  /\  (
u  e.  y  /\  y  e.  A )
) )
9 ancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  u  /\  u  e.  y
)  /\  y  e.  A )  <->  ( y  e.  A  /\  (
z  e.  u  /\  u  e.  y )
) )
108, 9bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  ( y  e.  A  /\  (
z  e.  u  /\  u  e.  y )
) )
11102exbii 1590 . . . . . 6  |-  ( E. y E. u ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y E. u ( y  e.  A  /\  ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) ) )
12 exdistr 1918 . . . . . 6  |-  ( E. y E. u ( y  e.  A  /\  ( z  e.  u  /\  u  e.  y
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) ) )
137, 11, 123bitri 263 . . . . 5  |-  ( E. u E. y ( z  e.  u  /\  ( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) ) )
14 eluni 3961 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. u
( z  e.  u  /\  u  e.  y
) )
1514bicomi 194 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y )  <->  z  e.  U. y )
1615anbi2i 676 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  y ) )  <->  ( y  e.  A  /\  z  e.  U. y ) )
1716exbii 1589 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  E. u
( z  e.  u  /\  u  e.  y
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
) )
186, 13, 173bitri 263 . . . 4  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  E. y
( u  e.  y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
) )
19 vex 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2019uniex 4646 . . . . . . . . . 10  |-  U. y  e.  _V
21 eleq2 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  U. y  -> 
( z  e.  v  <-> 
z  e.  U. y
) )
2220, 21ceqsexv 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v ( v  = 
U. y  /\  z  e.  v )  <->  z  e.  U. y )
23 exancom 1593 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v ( v  = 
U. y  /\  z  e.  v )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )
2422, 23bitr3i 243 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )
2524anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
)  <->  ( y  e.  A  /\  E. v
( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) ) )
26 19.42v 1917 . . . . . . 7  |-  ( E. v ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <-> 
( y  e.  A  /\  E. v ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) ) )
27 ancom 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <->  ( (
z  e.  v  /\  v  =  U. y
)  /\  y  e.  A ) )
28 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  v  /\  v  =  U. y )  /\  y  e.  A )  <->  ( z  e.  v  /\  (
v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
2927, 28bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <->  ( z  e.  v  /\  (
v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
3029exbii 1589 . . . . . . 7  |-  ( E. v ( y  e.  A  /\  ( z  e.  v  /\  v  =  U. y ) )  <->  E. v ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
) )
3125, 26, 303bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  U. y
)  <->  E. v ( z  e.  v  /\  (
v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
3231exbii 1589 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  z  e. 
U. y )  <->  E. y E. v ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
) )
33 excom 1748 . . . . 5  |-  ( E. y E. v ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v E. y ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
) )
34 exdistr 1918 . . . . . 6  |-  ( E. v E. y ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  E. y ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
35 vex 2903 . . . . . . . . . 10  |-  v  e. 
_V
36 eqeq1 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  U. y  <->  v  =  U. y ) )
3736anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
)  <->  ( v  = 
U. y  /\  y  e.  A ) ) )
3837exbidv 1633 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y ( x  = 
U. y  /\  y  e.  A )  <->  E. y
( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) ) )
3935, 38elab 3026 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) } 
<->  E. y ( v  =  U. y  /\  y  e.  A )
)
4039bicomi 194 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( v  = 
U. y  /\  y  e.  A )  <->  v  e.  { x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } )
4140anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  v  /\  E. y ( v  = 
U. y  /\  y  e.  A ) )  <->  ( z  e.  v  /\  v  e.  { x  |  E. y ( x  = 
U. y  /\  y  e.  A ) } ) )
4241exbii 1589 . . . . . 6  |-  ( E. v ( z  e.  v  /\  E. y
( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
4334, 42bitri 241 . . . . 5  |-  ( E. v E. y ( z  e.  v  /\  ( v  =  U. y  /\  y  e.  A
) )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
4432, 33, 433bitri 263 . . . 4  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  z  e. 
U. y )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
453, 18, 443bitri 263 . . 3  |-  ( E. u ( z  e.  u  /\  u  e. 
U. A )  <->  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) )
4645abbii 2500 . 2  |-  { z  |  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  U. A ) }  =  { z  |  E. v ( z  e.  v  /\  v  e.  { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) } ) }
47 df-uni 3959 . 2  |-  U. U. A  =  { z  |  E. u ( z  e.  u  /\  u  e.  U. A ) }
48 df-uni 3959 . 2  |-  U. {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) }  =  {
z  |  E. v
( z  e.  v  /\  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  U. y  /\  y  e.  A
) } ) }
4946, 47, 483eqtr4i 2418 1  |-  U. U. A  =  U. { x  |  E. y ( x  =  U. y  /\  y  e.  A ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374   U.cuni 3958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-rex 2656  df-v 2902  df-uni 3959
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