MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniwun Unicode version

Theorem uniwun 8378
Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 8473, but it is provable in ZFC without the Tarski-Grothendieck axiom. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
uniwun  |-  U.WUni  =  _V

Proof of Theorem uniwun
Dummy variables  x  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqv 3483 . 2  |-  ( U.WUni  =  _V  <->  A. x  x  e. 
U.WUni )
2 snex 4232 . . . 4  |-  { x }  e.  _V
3 wunex 8377 . . . 4  |-  ( { x }  e.  _V  ->  E. u  e. WUni  { x }  C_  u )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  E. u  e. WUni  { x }  C_  u
5 eluni2 3847 . . . 4  |-  ( x  e.  U.WUni  <->  E. u  e. WUni  x  e.  u )
6 vex 2804 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
76snss 3761 . . . . 5  |-  ( x  e.  u  <->  { x }  C_  u )
87rexbii 2581 . . . 4  |-  ( E. u  e. WUni  x  e.  u  <->  E. u  e. WUni  { x }  C_  u )
95, 8bitri 240 . . 3  |-  ( x  e.  U.WUni  <->  E. u  e. WUni  { x }  C_  u )
104, 9mpbir 200 . 2  |-  x  e. 
U.WUni
111, 10mpgbir 1540 1  |-  U.WUni  =  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   U.cuni 3843  WUnicwun 8338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-wun 8340
  Copyright terms: Public domain W3C validator