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Theorem unmbl 18999
Description: A union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
unmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem unmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mblss 18994 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2 mblss 18994 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
31, 2anim12i 549 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
4 unss 3425 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
53, 4sylib 188 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
6 elpwi 3709 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
7 inss1 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  C_  x
8 ovolsscl 18949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
97, 8mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
109adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
11 inss1 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
12 ovolsscl 18949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1413adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  e.  RR )
15 difss 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  A )  C_  x
16 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  x  C_  RR )
1715, 16syl5ss 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  \  A )  C_  RR )
18 ovolsscl 18949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
1915, 18mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
2019adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  e.  RR )
21 inss1 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  ( x  \  A )
22 ovolsscl 18949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  \  A )  i^i  B
)  C_  ( x  \  A )  /\  (
x  \  A )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B ) )  e.  RR )
2321, 22mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2417, 20, 23syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2514, 24readdcld 8952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  e.  RR )
26 difss 3379 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  C_  x
27 ovolsscl 18949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2826, 27mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2928adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
30 incom 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  (
x  \  A )
)
31 indifcom 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( x  \  A ) )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3230, 31eqtri 2378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3332uneq2i 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  ( B  \  A ) ) )
34 indi 3491 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  ( B  \  A ) ) )
35 undif2 3606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3635ineq2i 3443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )
3733, 34, 363eqtr2ri 2385 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)
3837fveq2i 5611 . . . . . . . 8  |-  ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol * `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )
3911, 16syl5ss 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  RR )
4021, 17syl5ss 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( x 
\  A )  i^i 
B )  C_  RR )
41 ovolun 18962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  i^i 
A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) ) )
4239, 14, 40, 24, 41syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  <_  (
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4338, 42syl5eqbr 4137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  <_  (
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4410, 25, 29, 43leadd1dd 9476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) ) )
45 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
46 mblsplit 18995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  =  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  \  B ) ) ) )
4745, 17, 20, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
( x  \  A
)  \  B )
) ) )
48 difun1 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  \  A )  \  B
)
4948fveq2i 5611 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol * `  ( ( x  \  A )  \  B
) )
5049oveq2i 5956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  \  B
) ) )
5147, 50syl6eqr 2408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
5251oveq2d 5961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) ) ) )
53 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
54 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  e.  RR )
55 mblsplit 18995 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )
5653, 16, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )
5714recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  e.  CC )
5824recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  CC )
5929recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  CC )
6057, 58, 59addassd 8947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  +  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) ) )
6152, 56, 603eqtr4d 2400 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
6244, 61breqtrrd 4130 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( vol * `  x ) )
6362expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  C_  RR )  ->  ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
646, 63sylan2 460 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  e. 
~P RR )  -> 
( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
6564ralrimiva 2702 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
66 ismbl2 18990 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  <->  ( ( A  u.  B )  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) ) )
675, 65, 66sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    \ cdif 3225    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   class class class wbr 4104   dom cdm 4771   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826    + caddc 8830    <_ cle 8958   vol *covol 18926   volcvol 18927
This theorem is referenced by:  inmbl  19003  finiunmbl  19005  volun  19006  voliunlem1  19011  icombl1  19024  iccmbl  19027  uniiccmbl  19049  mbfimaicc  19092  mbfeqalem  19101  mbfres2  19104  mbfmax  19108  itgss3  19273  itg2addnclem2  25493  itgaddnclem2  25499  iblabsnclem  25503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-ioo 10752  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-ovol 18928  df-vol 18929
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