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Theorem unmbl 19393
Description: A union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
unmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem unmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mblss 19388 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2 mblss 19388 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
31, 2anim12i 550 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
4 unss 3489 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
53, 4sylib 189 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
6 elpwi 3775 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
7 inss1 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  C_  x
8 ovolsscl 19343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
97, 8mp3an1 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
109adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
11 inss1 3529 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
12 ovolsscl 19343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  e.  RR )
15 difss 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  A )  C_  x
16 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  x  C_  RR )
1715, 16syl5ss 3327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  \  A )  C_  RR )
18 ovolsscl 19343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
1915, 18mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
2019adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  e.  RR )
21 inss1 3529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  ( x  \  A )
22 ovolsscl 19343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  \  A )  i^i  B
)  C_  ( x  \  A )  /\  (
x  \  A )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B ) )  e.  RR )
2321, 22mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2417, 20, 23syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2514, 24readdcld 9079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  e.  RR )
26 difss 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  C_  x
27 ovolsscl 19343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2826, 27mp3an1 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2928adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
30 incom 3501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  (
x  \  A )
)
31 indifcom 3554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( x  \  A ) )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3230, 31eqtri 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3332uneq2i 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  ( B  \  A ) ) )
34 indi 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  ( B  \  A ) ) )
35 undif2 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3635ineq2i 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )
3733, 34, 363eqtr2ri 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)
3837fveq2i 5698 . . . . . . . 8  |-  ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol * `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )
3911, 16syl5ss 3327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  RR )
4021, 17syl5ss 3327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( x 
\  A )  i^i 
B )  C_  RR )
41 ovolun 19356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  i^i 
A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) ) )
4239, 14, 40, 24, 41syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  <_  (
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4338, 42syl5eqbr 4213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  <_  (
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4410, 25, 29, 43leadd1dd 9604 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) ) )
45 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
46 mblsplit 19389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  =  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  \  B ) ) ) )
4745, 17, 20, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
( x  \  A
)  \  B )
) ) )
48 difun1 3569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  \  A )  \  B
)
4948fveq2i 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol * `  ( ( x  \  A )  \  B
) )
5049oveq2i 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  \  B
) ) )
5147, 50syl6eqr 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
5251oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) ) ) )
53 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
54 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  e.  RR )
55 mblsplit 19389 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )
5653, 16, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )
5714recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  e.  CC )
5824recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  CC )
5929recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  CC )
6057, 58, 59addassd 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  +  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) ) )
6152, 56, 603eqtr4d 2454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
6244, 61breqtrrd 4206 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( vol * `  x ) )
6362expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  C_  RR )  ->  ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
646, 63sylan2 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  e. 
~P RR )  -> 
( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
6564ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
66 ismbl2 19384 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  <->  ( ( A  u.  B )  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) ) )
675, 65, 66sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    \ cdif 3285    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953    + caddc 8957    <_ cle 9085   vol *covol 19320   volcvol 19321
This theorem is referenced by:  inmbl  19397  finiunmbl  19399  volun  19400  voliunlem1  19405  icombl1  19418  iccmbl  19421  uniiccmbl  19443  mbfimaicc  19486  mbfeqalem  19495  mbfres2  19498  mbfmax  19502  itgss3  19667  ismblfin  26154  mbfposadd  26161  cnambfre  26162  itg2addnclem2  26164  iblabsnclem  26175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-ovol 19322  df-vol 19323
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