MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unmbl Unicode version

Theorem unmbl 18895
Description: A union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
unmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem unmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mblss 18890 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2 mblss 18890 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
31, 2anim12i 549 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )
4 unss 3349 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
53, 4sylib 188 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
6 elpwi 3633 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P RR  ->  x 
C_  RR )
7 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  C_  x
8 ovolsscl 18845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
97, 8mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
109adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
11 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
12 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )
1413adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  e.  RR )
15 difss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  A )  C_  x
16 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  x  C_  RR )
1715, 16syl5ss 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  \  A )  C_  RR )
18 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
1915, 18mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  e.  RR )
2019adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  e.  RR )
21 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  ( x  \  A )
22 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  \  A )  i^i  B
)  C_  ( x  \  A )  /\  (
x  \  A )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( x  \  A ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B ) )  e.  RR )
2321, 22mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2417, 20, 23syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR )
2514, 24readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  e.  RR )
26 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  C_  x
27 ovolsscl 18845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  \  ( A  u.  B )
)  C_  x  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2826, 27mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
2928adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  RR )
30 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( B  i^i  (
x  \  A )
)
31 indifcom 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  ( x  \  A ) )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3230, 31eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  A )  i^i  B )  =  ( x  i^i  ( B  \  A ) )
3332uneq2i 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  ( B  \  A ) ) )
34 indi 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  ( B  \  A ) ) )
35 undif2 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3635ineq2i 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )
3733, 34, 363eqtr2ri 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)
3837fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol * `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )
3911, 16syl5ss 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  RR )
4021, 17syl5ss 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( x 
\  A )  i^i 
B )  C_  RR )
41 ovolun 18858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  i^i 
A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( x  \  A )  i^i  B )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  i^i  A )  u.  ( ( x 
\  A )  i^i 
B ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) ) )
4239, 14, 40, 24, 41syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  <_  (
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4338, 42syl5eqbr 4056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  <_  (
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) ) )
4410, 25, 29, 43leadd1dd 9386 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) ) )
45 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
46 mblsplit 18891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( x  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( x 
\  A ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( x  \  A ) )  =  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  \  B ) ) ) )
4745, 17, 20, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
( x  \  A
)  \  B )
) ) )
48 difun1 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  \  A )  \  B
)
4948fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( vol * `  ( ( x  \  A )  \  B
) )
5049oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) )  +  ( vol * `  ( ( x  \  A )  \  B
) ) )
5147, 50syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  A
) )  =  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
5251oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  ( A  u.  B
) ) ) ) ) )
53 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
54 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  e.  RR )
55 mblsplit 18891 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR )  -> 
( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )
5653, 16, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )
5714recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  e.  CC )
5824recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  e.  CC )
5929recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) )  e.  CC )
6057, 58, 59addassd 8857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( vol * `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( (
x  \  A )  i^i  B ) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  +  ( ( vol * `  ( ( x  \  A )  i^i  B
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) ) )
6152, 56, 603eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( ( vol * `  ( x  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
( x  \  A
)  i^i  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) ) )
6244, 61breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( x 
C_  RR  /\  ( vol * `  x )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )  +  ( vol * `  ( x  \  ( A  u.  B )
) ) )  <_ 
( vol * `  x ) )
6362expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  C_  RR )  ->  ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
646, 63sylan2 460 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  x  e. 
~P RR )  -> 
( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
6564ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) )
66 ismbl2 18886 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  <->  ( ( A  u.  B )  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( x  i^i  ( A  u.  B )
) )  +  ( vol * `  (
x  \  ( A  u.  B ) ) ) )  <_  ( vol * `
 x ) ) ) )
675, 65, 66sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740    <_ cle 8868   vol *covol 18822   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  inmbl  18899  finiunmbl  18901  volun  18902  voliunlem1  18907  icombl1  18920  iccmbl  18923  uniiccmbl  18945  mbfimaicc  18988  mbfeqalem  18997  mbfres2  19000  mbfmax  19004  itgss3  19169
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-ovol 18824  df-vol 18825
  Copyright terms: Public domain W3C validator