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Theorem unocv 16580
Description: The orthocomplement of a union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
inocv.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
unocv  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )

Proof of Theorem unocv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W ) )
21bicomi 193 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( Base `  W
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) ) )
3 ralunb 3356 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( A. y  e.  A  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
42, 3anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
5 an4 797 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( ( A 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
64, 5bitri 240 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
76anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) ) )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
12 inocv.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
138, 9, 10, 11, 12elocv 16568 . . . 4  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
14 3anan12 947 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1513, 14bitri 240 . . 3  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
168, 9, 10, 11, 12elocv 16568 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
17 3anan12 947 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1816, 17bitri 240 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
198, 9, 10, 11, 12elocv 16568 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
20 3anan12 947 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2119, 20bitri 240 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2218, 21anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B
) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
23 elin 3358 . . . 4  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  ( 
._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B ) ) )
24 anandi 801 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
2522, 23, 243bitr4i 268 . . 3  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
267, 15, 253bitr4i 268 . 2  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) ) )
2726eqriv 2280 1  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .icip 13213   0gc0g 13400   ocvcocv 16560
This theorem is referenced by:  cssincl  16588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ocv 16563
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