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Theorem unocv 16862
Description: The orthocomplement of a union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
inocv.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
unocv  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )

Proof of Theorem unocv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 3481 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W ) )
21bicomi 194 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( Base `  W
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) ) )
3 ralunb 3488 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( A. y  e.  A  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
42, 3anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W ) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
5 an4 798 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  B  C_  ( Base `  W
) )  /\  ( A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( ( A 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
64, 5bitri 241 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
76anbi2i 676 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) ) )
8 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
10 eqid 2404 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
12 inocv.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
138, 9, 10, 11, 12elocv 16850 . . . 4  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
14 3anan12 949 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1513, 14bitri 241 . . 3  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( ( A  u.  B )  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  ( A  u.  B
) ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
168, 9, 10, 11, 12elocv 16850 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
17 3anan12 949 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
1816, 17bitri 241 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  A
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
198, 9, 10, 11, 12elocv 16850 . . . . . 6  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
20 3anan12 949 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( B  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2119, 20bitri 241 . . . . 5  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2218, 21anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B
) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
23 elin 3490 . . . 4  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  ( 
._|_  `  A )  /\  z  e.  (  ._|_  `  B ) ) )
24 anandi 802 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  (
( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( B 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  ( A  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  A  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
2522, 23, 243bitr4i 269 . . 3  |-  ( z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  (
Base `  W )  /\  ( ( A  C_  ( Base `  W )  /\  A. y  e.  A  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  /\  ( B  C_  ( Base `  W
)  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) ) )
267, 15, 253bitr4i 269 . 2  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  ( A  u.  B )
)  <->  z  e.  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) ) )
2726eqriv 2401 1  |-  (  ._|_  `  ( A  u.  B
) )  =  ( (  ._|_  `  A )  i^i  (  ._|_  `  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .icip 13489   0gc0g 13678   ocvcocv 16842
This theorem is referenced by:  cssincl  16870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-ocv 16845
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