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Theorem unopf1o 23261
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 23217 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
21simplbi 447 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
3 fof 5587 . . . 4  |-  ( T : ~H -onto-> ~H  ->  T : ~H --> ~H )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
5 unop 23260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
653anidm23 1243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
763adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
8 unop 23260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
983anidm23 1243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
1093adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
117, 10oveq12d 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) ) )
12 unop 23260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
13 unop 23260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
14133com23 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
1512, 14oveq12d 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) )  =  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) )
1611, 15oveq12d 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
17163expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
18 ffvelrn 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
19 ffvelrn 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
2018, 19anim12dan 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
214, 20sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
22 normlem9at 22465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( ( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) 
.ih  ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  ( ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
) )  -  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) ) ) )
24 normlem9at 22465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  ( ( ( x  .ih  x
)  +  ( y 
.ih  y ) )  -  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
2617, 23, 253eqtr4rd 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) ) )
2726eqeq1d 2389 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0 ) )
28 hvsubcl 22362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  -h  y
)  e.  ~H )
29 his6 22443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -h  y )  e.  ~H  ->  (
( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  0  <->  (
x  -h  y )  =  0h ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
( x  -h  y
)  =  0h )
)
31 hvsubeq0 22412 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  =  0h  <->  x  =  y ) )
3230, 31bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3332adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  x  =  y
) )
34 hvsubcl 22362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
35 his6 22443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  e.  ~H  ->  (
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  =  0h ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  =  0h )
)
37 hvsubeq0 22412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  =  0h  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
3836, 37bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( T `  x
)  =  ( T `
 y ) ) )
3921, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  0  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
4027, 33, 393bitr3rd 276 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  <->  x  =  y ) )
4140biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
4241ralrimivva 2735 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
43 dff13 5937 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-> ~H  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
444, 42, 43sylanbrc 646 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-> ~H )
45 df-f1o 5395 . 2  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  <->  ( T : ~H
-1-1-> ~H  /\  T : ~H -onto-> ~H ) )
4644, 2, 45sylanbrc 646 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2643   -->wf 5384   -1-1->wf1 5385   -onto->wfo 5386   -1-1-onto->wf1o 5387   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   0cc0 8917    + caddc 8920    - cmin 9217   ~Hchil 22264    .ih csp 22267   0hc0v 22269    -h cmv 22270   UniOpcuo 22294
This theorem is referenced by:  unopnorm  23262  cnvunop  23263  unopadj  23264  unoplin  23265  counop  23266  unopbd  23360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-hilex 22344  ax-hfvadd 22345  ax-hvcom 22346  ax-hvass 22347  ax-hv0cl 22348  ax-hvaddid 22349  ax-hfvmul 22350  ax-hvmulid 22351  ax-hvdistr2 22354  ax-hvmul0 22355  ax-hfi 22423  ax-his1 22426  ax-his2 22427  ax-his3 22428  ax-his4 22429
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-op 3760  df-uni 3952  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-riota 6479  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-2 9984  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-hvsub 22316  df-unop 23188
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