HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopf1o Structured version   Unicode version

Theorem unopf1o 23411
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 23367 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
21simplbi 447 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H -onto-> ~H )
3 fof 5645 . . . 4  |-  ( T : ~H -onto-> ~H  ->  T : ~H --> ~H )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
5 unop 23410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
653anidm23 1243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
763adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( x  .ih  x
) )
8 unop 23410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
983anidm23 1243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
1093adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
117, 10oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) ) )
12 unop 23410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
13 unop 23410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
14133com23 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  x
) )
1512, 14oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) )  =  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) )
1611, 15oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
17163expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
18 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
19 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
2018, 19anim12dan 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
214, 20sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H ) )
22 normlem9at 22615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( ( ( T `  x )  .ih  ( T `  x )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  -  ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  x )
) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) 
.ih  ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  ( ( ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  x ) )  +  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
) )  -  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  +  ( ( T `  y ) 
.ih  ( T `  x ) ) ) ) )
24 normlem9at 22615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  ( ( ( x  .ih  x
)  +  ( y 
.ih  y ) )  -  ( ( x 
.ih  y )  +  ( y  .ih  x
) ) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( x 
.ih  x )  +  ( y  .ih  y
) )  -  (
( x  .ih  y
)  +  ( y 
.ih  x ) ) ) )
2617, 23, 253eqtr4rd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  y ) 
.ih  ( x  -h  y ) )  =  ( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) ) )
2726eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0 ) )
28 hvsubcl 22512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  -h  y
)  e.  ~H )
29 his6 22593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -h  y )  e.  ~H  ->  (
( ( x  -h  y )  .ih  (
x  -h  y ) )  =  0  <->  (
x  -h  y )  =  0h ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
( x  -h  y
)  =  0h )
)
31 hvsubeq0 22562 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  y )  =  0h  <->  x  =  y ) )
3230, 31bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  -h  y )  .ih  ( x  -h  y
) )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3332adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  -h  y
)  .ih  ( x  -h  y ) )  =  0  <->  x  =  y
) )
34 hvsubcl 22512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
35 his6 22593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  e.  ~H  ->  (
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  .ih  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) ) )  =  0  <->  (
( T `  x
)  -h  ( T `
 y ) )  =  0h ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  =  0h )
)
37 hvsubeq0 22562 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( T `
 x )  -h  ( T `  y
) )  =  0h  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
3836, 37bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( T `  x )  -h  ( T `  y ) )  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
) )  =  0  <-> 
( T `  x
)  =  ( T `
 y ) ) )
3921, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  x )  -h  ( T `  y )
)  .ih  ( ( T `  x )  -h  ( T `  y
) ) )  =  0  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
4027, 33, 393bitr3rd 276 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  <->  x  =  y ) )
4140biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
4241ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
43 dff13 5996 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-> ~H  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
444, 42, 43sylanbrc 646 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-> ~H )
45 df-f1o 5453 . 2  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  <->  ( T : ~H
-1-1-> ~H  /\  T : ~H -onto-> ~H ) )
4644, 2, 45sylanbrc 646 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982    + caddc 8985    - cmin 9283   ~Hchil 22414    .ih csp 22417   0hc0v 22419    -h cmv 22420   UniOpcuo 22444
This theorem is referenced by:  unopnorm  23412  cnvunop  23413  unopadj  23414  unoplin  23415  counop  23416  unopbd  23510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-hvsub 22466  df-unop 23338
  Copyright terms: Public domain W3C validator