HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopnorm Unicode version

Theorem unopnorm 22611
Description: A unitary operator is idempotent in the norm. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopnorm  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  A )
)

Proof of Theorem unopnorm
StepHypRef Expression
1 unopf1o 22610 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
2 f1of 5555 . . . . 5  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
4 ffvelrn 5746 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( T `  A
)  e.  ~H )
53, 4sylan 457 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
6 normcl 21818 . . 3  |-  ( ( T `  A )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e.  RR )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  e.  RR )
8 normcl 21818 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
98adantl 452 . 2  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
10 normge0 21819 . . 3  |-  ( ( T `  A )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  A ) ) )
115, 10syl 15 . 2  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  ( T `  A ) ) )
12 normge0 21819 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
1312adantl 452 . 2  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
14 unop 22609 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  A  e. 
~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) )  =  ( A  .ih  A
) )
15143anidm23 1241 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) )  =  ( A  .ih  A
) )
16 normsq 21827 . . . 4  |-  ( ( T `  A )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) )
175, 16syl 15 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) )
18 normsq 21827 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( A  .ih  A
) )
1918adantl 452 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( A  .ih  A
) )
2015, 17, 193eqtr4d 2400 . 2  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( normh `  ( T `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  A ) ^ 2 ) )
217, 9, 11, 13, 20sq11d 11374 1  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  =  ( normh `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   -->wf 5333   -1-1-onto->wf1o 5336   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827    <_ cle 8958   2c2 9885   ^cexp 11197   ~Hchil 21613    .ih csp 21616   normhcno 21617   UniOpcuo 21643
This theorem is referenced by:  elunop2  22707  nmopun  22708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777  ax-his4 21778
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-hnorm 21662  df-hvsub 21665  df-unop 22537
  Copyright terms: Public domain W3C validator